Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
Af(x)=n~l ^ [f (у) — f(x) — f'(х) arctg((/ — х)]/(у — х)1 dy.
— ОО
(Вместо функции arctgz можно взять любую другую нечетную ограниченную функцию, равную z + 0(z2) при z->-0.)
ж) Обратимся к примеру п. 3 г) § 8.1 (процесс, связанный с системой массового обслуживания). Предположим, что появ-
242
ляющаяся там функция /(*)/(!—F(x)) равномерно непрерывна и ограничена. Возьмем функцию ф, принимающую произвольное значение в точке S и принадлежащую на |0, оо). Получен*
ные нами формулы для переходных вероятностей за бесконечно малый промежуток времени At превращаются в
PAtф (S) = ф (S) [1 — аД*] + ф(0)аД/ + о(Д0, >Л(ФМ=Ф (х + ДО [l ~ j -?(lj-A*] +
+ Ф <S) i -F(x) At + ° {At)' Х ^ [°’ °о)'
откуда
Лф (S) = а [ф (0) — ф (S)],
Лф (х) = ф' (х) + t ^f\xJ ~ ф W]-
з) До сих пор мы не имели случая подчеркнуть чрезвычайную важность области определения Da- Оказывается, инфините-зимальные операторы, отвечающие совершенно отличным друг от друга марковским процессам, могут задаваться одной и той же формулой и различаться только областями определения.
Задача 6. Инфинитезимальный оператор К семейства ви-неровских процессов с отражением Wf (задача 6 § 8.1) на [0, оо) определен на функциях f е С®вн таких, что /'(0+) = 0, и для
них Af = ~f"; инфинитезимальный оператор А0 семейства ви-
неровских процессов на [0, оо) с остановкой в нуле ьу® (задача
1 § 8.5) — на функциях / 6 С®м, для которых f"(0+)=0, и
Конечно, эти марковские семейства близки друг к другу, но различны (в смысле конечномерных распределений).
и) В примере п. 7 § 8.3 можно доказать, что решение уравнения (10) с граничными условиями (11), дважды непрерывно дифференцируемое по j и один раз no t вплоть до границы полуполосы, существует для любых конечных условий / еС(!| [0, 1], Г(0+) = /'(1—) = 0. Отсюда вытекает, что все такие функции принадлежат области определения инфинитези-мального оператора А соответствующей полугруппы, и для них
Af = -y-f". Мы увидим (§ 10.2, задача 7), что DA не только
содержит С(2>[0, 1J П {f'- f'{0+) = f'(l—) = 0}, но и совпадает С этим множеством.
3. Рассмотрим важное понятие, связанное с полу-
группами и инфинитезимальными операторами; огра-
ничимся случаем сжимающей полугруппы на пространстве В ограниченных измеримых функций.
243
Введем в В подпространство В0, состоящее из функций, для которых
II Pff~f!— О (/^0);
это — функции, на которых полугруппа Р1 сильно непрерывна справа в нуле. То, что В0 — линейное подпространство, очевидно; но, кроме того, оно еще и замкнуто, а значит, является банаховым пространством. Действительно, если f„^B0, то
Tim If 1 < Пт I P‘f — P*fn I +
i|0 tiO
+ итЦР% — Гя I+ || — (3)
t i 0
второй член в правой части равен нулю, а
TTS II P*f - P'fn II ¦= fiS II Р‘ (f - fn) ll< I\f-fn II-
(¦i-o t + 0
Так как эта норма мала, левая часть (3) равна нулю, и / е= В0.
Оказывается, если f е В0, то функция P‘f со значениями в нашем банаховом пространстве равномерно непрерывна по t на всем луче [0, оо): для s ^ t
p(f — р7|| =
=I ps (p*~sf — /) II < II — /1 о (/-S-0).
Отсюда, в частности, вытекает, что пространство Во будет инвариантно относительно операторов Р1: для /еВ0 будет также Р‘1^В0, так как PhPlf = Pt+hf~>-Plf при /г|0.
С инфинитезимальным оператором пространство В0
связано так: DA^B0 (из существования предела
rl(ptf — f) следует Цг1 (p‘f — f) || = О (1), \\ptf — f\\=
= О (/) -* 0 при I 4 О); значит, для f е Da имеем Р f е
<= В0, Г1 (Pif — f)^B0, а значит, Л/"=Нт Г1 (p^ — f)^
t + о
еВ». 'Го есть и область значений ADa инфинитези-мального оператора также входит в В0.
4. Мы знаем, что Af—правая производная P‘f в нуле в смысле сильной сходимости. Докажем, что если f е Da, то и P‘f е Da, и
AP‘f = P‘Af = ~P‘f (4)
244
в смысле той же сходимости. По определению
AP*f = lim /Г1 (phpif - PV); пользуясь полугруппо-л + о
вым свойством, получаем, что это выражение — не что иное, как lim A-1 (Pt+hf — Pff), т. е. правая производ-
h^O
ная от Pff (существование APlf равносильно существованию и если они существуют, то рав-
ны). Еще раз воспользуемся полугрупповым свойством: PhPff — Plf = Pt+hf— Ptf = Pt(Phf— f)— и докажем, что lim P*h 1 (Phf — f)=P(Af. Имеем
h у О
I ^h~^{Phf — f) — P‘i4/|| =
= \Pt\h-l(Phf-f)-Af]\^
^\\hl(Phf-f)-Af |-*0 (hi 0).
Чтобы доказать (4), нам остается проверить, что и левая производная от P‘f равна тому же выражению. Имеем
!(- A)'"1 (pt hf — p*f) — plAf 1 <:
< I pt h(~ ну1 (f - phf) — Pl~hAf II + II P*-hAf - P*Af ||.
