Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
226
в Q (совсем не обязательно, чтобы все 0тсо или хотя бы одно из этих элементарных событий принадлежали QT). Итак, для mgQt определяется множество элементарных событий 0т(о, для каждого из которых
It (0т®) = ?т+( (ю).
Теперь для событий /1е определим А как прообраз при отображении 0Т: ®х{А составим из тех элементарных событий со, для которых хотя бы один из элементов 9,ве/1 (можно доказать, что при этом автоматически все 0тш^/4). Оператор 071 отображает любое событие из а-алгебры обязательно
в какое-то подмножество Qr; докажем, что это будет также событие из
Легко видеть, что все события А, для которых это так, образуют а-алгебру; поэтому достаточно проверить сохранение измеримости лишь для событий {?^Г}, порождающих а-алгебру Но 0-71{^/еГ}=
= {?<+геГ}, и измеримость этого множества вытекает из того, что случайная функция прогрессивно измерима.
Далее, для 5г>о-измеримой функции г| = г| (со) на Q определяется 0тг| = rj (0хсо) — функция, определенная всюду на множестве Qt. Доказывается, что значение т] одно и то же для всех элементарных событий 0tw (см. § 3.2, п. 3) и что полученная функция ^"зго-измерима. Рассмотрим примеры.
Пусть т—момент первого достижения процессом множества Г а X: т = inf {/: |(еГ}. Здесь состоит из тех элементарных событий, для которых траектория вообще когда-либо достигает Г. Сделаем чертеж для случая, когда — процесс с непрерывными траекториями на прямой, а множество Г — отрезок
(рис. 27). Изобразим сдвиг траектории. (Для траектории, начинающейся в пределах отрезка Г, х = 0, так что сдвиг траектории совпадает с ней самой; на рис. 27 изображен случай |о Ф Г.)
8*
227
Для события А = > 0} прообраз выразится так: 0Х 1 j4 =
= {т < оо, ^ + ( > 0}. Мы видели, что для события В = { lim ?(=0}
любой его сдвиг 0^'В совпадал с ним самим. Но В^-1 /f = = (т < оо, lim 4f = 0}> что, вообще говоря, будет лишь частью
1 о ‘ ’
события В. Еще пример: если С = {|0 <? Г}, то 0~*С = {т < оо, Sj,x ф. Г}, что в данном случае является невозможным событием . Таким образом, может быть А ф 0, в~1А — 0.
В качестве примеров действия оператора 0Х на функции рассмотрим 0хт, что в данном случае равно нулю на всем множестве определения, т. е. на йх, 0хт\ = т\— х на ?2Х, где т) — первый момент достижения верхнего конца отрезка (см. рис. 27). Если же мы рассмотрим случайный момент Р первого достижения какой-либо точки а ф Г, то 0хр равно р—х только в том случае, если траектория прежде достигает Г, чем точки а. И т. д.
Форма строго марковского свойства, использующая операторы сдвига, запишется так: для любого марковского момента т, любого события А е х, А s fit, любого события В е SFпри любом х е X
РЛле^15) = 5Р5х(й)РЛ^). (13)
А
Иначе это можно записать так:
Px&lB\$~x) = Pix(B) (14)
почти наверное (Р*) на множестве {т < оо}; в форме с математическими ожиданиями:
M,(0xTll^x) = MSxn (15)
почти наверное (Р*) на том же множестве или
MJ0xt) = М^ЕМ^т), (16)
где I и г] — ограниченные случайные величины, ? — равная нулю вне множества Qx и 5Гх-измеримая на этом множестве, а т] — ЗГх-измеримая.
Строго марковское свойство (13) выводится из строго марковского свойства (3) или (6) с r) = /i = = const так же, как выводится марковское свойство в форме (17) § 8.2: сначала для событий В вида В = |^еГ,, ...Д, еГп|, а затем рас-
пространяется на все В е 5Г>0, причем измеримость Рх (В) по х, которая здесь существенна, уже не нужно
228
доказывать заново. Мы не будем проводить доказательства.
Строго марковское свойство в форме (13) — (16) можно интерпретировать так: поведение процесса после марковского момента т при условии, что фиксировано течение процесса до момента т, —такое же, как если бы процесс был с самого начала выпущен из точки ?т.
7. В качестве применения дается
Задача 2. Пусть / = 0, 1, 2, Рх) — цепь Маркова на фазовом пространстве (X, SB). Пусть У— ^-измеримое непустое подмножество X. Обозначим через т„ п-й момент времени, не считая нулевого, когда е У; если побывало в множестве У менее чем п раз при t > 0, полагаем т„ = оо. Для тех элементарных событий, для которых ?о е У, определим новую случайную последовательность Цп, /г = О, 1, 2,...: г)0 = ?0; г\п —
— !тп> если хп < оо, и г|п — * (дополнительное состояние), если хп — оо. Те элементарные события, для которых ?о Ф- У, выбросим; зато добавим еще одно элементарное события to*, причем положим т]„ (со*) = *, п = 0, 1, 2, ... Положим Р* {со,} = 0, х е е У; Р, {со,} = 1. Докажите, что (rjn, п — 0, 1, 2, .. .; Рх, х е е У U {*}) — марковская цепь на фазовом пространстве (У (J и {*}, SB{Y\) {*})), где 8В (У (_!{*}) — наименьшая сг-алгебра, содержащая все й’-измеримые подмножества У и одноточечное множество {*}.
Смысл этой формально изложенной конструкции таков: мы наблюдаем за цепью только в то время, которое она проводит в множестве У, и это снова получается цепь Маркова (она может вместо У попадать в дополнительное состояние *, если возвращение в множество У происходит с вероятностью, меньшей 1). Для доказательства стоит сначала выписать переходную функцию.
