Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
234
марковское семейство с данной переходной функцией, его траектории непрерывны справа, а пределы слева в каждой точке остались прежние.
Отсюда, в частности, вытекает, что траектории стохастически непрерывных, однородных по времени процессов с независимыми приращениями можно считать непрерывными справа и имеющими пределы слева; это относится, например, к процессу Коши.
3. Приведем еще пример применения теоремы 3. Матрице вероятностей перехода из задачи 1 § 8.1 отвечает марковское семейство на фазовом пространстве из двух состояний с непрерывным справа и имеющими пределы слева траекториями, т. е. все траектории — ступенчатые функции с конечным числом ступенек на каждом конечном промежутке времени, причем в ступеньку включается ее левый конец, но не включается правый. То же самое будет для любого марковского процесса со счетным множеством состояний, для которого sup[l—P(t, х, {х})]-->0 при /|0.
X
Это вытекает из теоремы 3, если на фазовом пространстве ввести метрику, задающую дискретную топологию: р (х,у)= 1 при х ф у, функции без разрывов второго рода относительно этой метрики — как раз ступенчатые функции (рис. 28).
Рис. 28
Применению этого к несчетному фазовому пространству (X, 86) препятствует то, что теорема 3 сформулирована нами для случая, когда фазовое пространство— метрическое пространство с сг-алгеброй боре-левских множеств, т. е. сг-алгеброй, порожденной всеми открытыми множествами. В дискретной топологии (р(х, у)=\, хфу) все множества открыты, и ст-алгебра борелевских множеств — это система всех подмножеств X. Но мы не умеем задавать меры на всех подмножествах несчетного множества, за исключе-
235
нием мер, которые на самом деле сосредоточены на каком-то счетном числе точек в этом несчетном множестве. К счастью, теорему 3 (и предшествующие ей теоремы 1, 2) можно обобщить, потребовав вместо 8в=Мх того, чтобы метрика р (х, у) была измерима (относительно <%?), и того, чтобы о-алгебра §6 порождалась измеримыми открытыми множествами. Из этой видоизмененной теоремы выводится
Теорема 4. Пусть P(t,x,T) — переходная функция марковского семейства на произвольном фазовом пространстве (Х,8?). Если sup [1 — Р (t, х, {х})] О
X
при i'jO, то существует марковское семейство с этой переходной функцией, все траектории которого являются непрерывными справа ступенчатыми функциями с конечным числом ступенек на каждом конечном промежутке времени.
4. Имеются различные обобщения теорем этого параграфа; в частности, теоремы, обеспечивающие непрерывность траекторий только до момента перескока в дополнительную точку *, в которую процесс попадает вместо того, чтобы исчезать (ср. § 8.1, п. 5в)). См. Дынкин (1959, гл. 6), Гихман, Скороход (1965, гл. IV, §§ 4, 5).
§ 9.2. Строго марковское свойство для феллеровских марковских семейств с непрерывными справа траекториями
1. Мы докажем, что все феллеровские марковские семейства с непрерывными справа траекториями являются строго марковскими относительно семейства а-алгебр ^<<+(?е[0, оо)). Прежде всего докажем вспомогательный результат.
Задача 1. Пусть т—марковский момент относительно семейства а-алгебр &~<t + . Тогда хп = ([2”т] 4 + 1)/2п—марковский момент относительно семейства а-алгебр и соответствующая ему а-алгебра
<т + -
Теперь пусть у нас имеется феллеровское марковское семейство (|<; Рх) с непрерывными справа траекториями на метрическом фазовом пространстве X, 36 =9Их. Требование прогрессивной измеримости, входящее в определение строго марковского семейства (§ 8.5, п. 2), обеспечивается непрерывностью справа
236
траекторий. Нужно доказать, что
51 &+ч) р* w=J p*f (w p,(rfo>) (о
A A
для любой функции f e В, где относительно х, т], А выполняется следующее условие:
А—|—|-) х — произвольный марковский момент относительно семейства ст-алгебр <t+; Л — произвольная функция на ?2т={т <С со} со значениями в [0, со], измеримая относительно &~^х+; А е + , A s П
Нам известно (см. § 8.5), что (1) выполнено, если А) х — дискретный марковский момент относительно семейства л — функция на ?2Т, прини-
мающая счетное число значений из [0,со] и измеримая относительно ?Г <^х\ Л Е Qt П
Введем еще промежуточное условие:
А+) х — произвольный марковский момент относительно семейства Л — функция на Qt, прини-
мающая счетное число значений, измеримая относительно ct+i А f ^t+> A s f]
При условии А) (1) уже доказано; отсюда мы перейдем к (1) при условии А+), а затем уже при условии А+ + ). Для последнего перехода нам понадобится еще один вспомогательный результат.
Задача 2. Для f^C функция Pf{x) при каждом х непрерывна справа по t.
Формулу (1) достаточно доказать только для функций f С (переход ко всем f^B осуществляется так же, как при доказательстве теоремы п. 6 § 8.3).
Предположим, что fеС; т, л, А удовлетворяют условию А+). Возьмем хп — ([2лт] + 1) /2Л, а ц и А оставим без изменения. Согласно задаче 1, для хп, л, А будет выполнено условие А), поэтому
