Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
5 f (^+Т)) рх (*») = S P'f (У Р, (АО). (2)
А А П
Здесь P^f при каждом со е ?2Ч—непрерывная функция (используется феллеровость) .Устремим п коо; при этом хп \ х, в силу непрерывности траекторий справа —*>
^х> Используя непрерывность число-
вых функций f(-) и Pnf('), получаем, что
237
при всех ю; так как все эти функции ограничены ||/||, то законен предельный переход под знаком интеграла, и из (2) вытекает (1). Итак, (1) доказано в предположении А+).
Пусть теперь т, г), А удовлетворяют условию А++). Положим т]„ = ([2ят]] + 1)/2л, а т и Л оставим без изменения. Для т, т]„, Л выполнено условие А+), значит,
SI <voр' =S р'"> (3)
л л
Устремим п к оо и воспользуемся задачей 2; получим что P^nf (lx) P^f (Ет) при любом coeS2tf|^n- То, что в левой части функция под знаком интеграла стремится к ЩТ+Т1), так же, как и раньше, вытекает из непрерывности траекторий справа. Предельный переход от (3) дает нам (1) при условии А++)-
2. Теперь обоснованы все применения строго марковского свойства к винеровскому процессу (§ 8.5, п. 46), задачи 1, 3*).
3. Наконец, теперь мы можем понять, почему требуется непрерывность справа, а не слева. При переходе от дискретных г| к произвольным мы могли бы совершенно так же воспользоваться непрерывностью слева, положив т]„ = [2"г|] /2"; но при оперировании с т существенно, что мы заменяем эту величину на большие тЗдесь дело в том, что т определяется своим прошлым (и ближайшим будущим). Случайная величина т„, будучи функцией от т, тоже определяется прошлым и ближайшим будущим относительно т; но это прошлое и ближайшее будущее — прошлое по отношению к х„, так как хп > х. Это и приводит к тому, что х„ — марковский момент относительно семейства сг-алгебр
Напротив, если бы мы взяли т„ <; т, то не получили бы в общем случае марковского момента, потому что прошлое по отношению к т частично является будущим для хп С т, и даже не «ближайшим» будущим.
4. Из доказанной теоремы следует, что феллеров-ские марковские семейства с непрерывными справа траекториями являются марковскими относительно семейства о-алгебр @~^t+ (см. § 8.5, п. 0). В частности, для таких марковских семейств имеет место
Закон 0—1 Р. Блюменталя. Для любого события и любого х <= X либо Рл:(В) = 0, либо
РАВ) = 1.
Доказательство. Пользуемся (строго) марковским свойством (формула (1) § 8.5) относительно
238
момента т = О, А = В. Получаем
Р, (В) = Р, (ВВ) = р, (500- ,5)=$РЬ (В) Рх (Ло) =
В
= \рлв)рх{йа>)=рх{в)\
в
Разумеется, РХ(В) может зависеть от х (это будет ^-измеримая функция, т. е. в данном случае индикатор какого-то борелевского подмножества X).
5. Доказанная теорема обобщается на случай, когда вместо пространства С берется не все пространство непрерывных функций, а лишь его подмножество, достаточно плотное в пространстве В (чтобы две меры совпадали, если совпадают интегралы по ним от любых двух функций из данного подмножества). Например, в случае сепарабельного локально компактного X достаточно потребовать, чтобы Р‘[ было непрерывно для любой финитной (т. е. обращающейся в нуль вне некоторого компакта) непрерывной функции: Р‘СфИН Е С.
Дадим несколько задач, связанных с материалом этого параграфа лишь, может быть, методом решения.
Задача 3. Пусть (?п, Рх) — цепь Маркова на фазовом
пространстве (X, SB). Обозначим через х(х) первый момент,
когда |я покидает точку х: т(х) = miп{п: ф х} (если '|„ == х
при всех beZ+, полагаем х(х) = +оо). Докажите, что х(х) имеет (относительно вероятности Р*) геометрическое распределение с параметром q(x) е [0, 1], т. е. Рх {х (х) = п) =
= [1 — q(x)] q (х)п~\ п = 1, 2, ..., и что случайные величины
т(х) и kX(X) независимы (также относительно вероятности Рх).
Конечно, о имеет смысл говорить, только когда q(x)<
< 1, иначе с Рх- вероятностью 1 х(х) = оо.
Задача 4. Пусть (^, Р ) — марковское семейство с непрерывными справа траекториями; т(х) = inf{^: |< ф х}. Докажите, что х(х) имеет показательное распределение с параметром Х(х) е [0, оо], т. е. Рх {х (х) > i] = ё~^*, t ^ 0.
(То, что х(х)—случайная величина, следует из задачи 4 § 6.1.)
Для семейства винеровских процессов в каждой точке h(x) = -l-оо, Рх {х (х) = 0} = 1.
Задача 5. Найдите Л(1), Х(2) для процесса с матрицей вероятностей перехода задачи 1 § 8.1,
Задача 6*. Вытекает ли из условий задачи 4, что т(х) и ?¦!(*) независимы?
Глава 10
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 10.1. Инфинитезимальный оператор полугруппы
1. Мы уже говорили (§ 8.1, п. Зг)), что типичной для марковских процессов является такая ситуация, когда мы знаем переходные вероятности за малый промежуток времени A t с точностью до о (At), и что этого при известных условиях регулярности достаточно для того, чтобы восстановить всю переходную функцию. В этом параграфе мы введем инфинитезимальный оператор — как раз такую характеристику, которая задает полугруппу операторов, связанную с марковским семейством, с точностью до бесконечно малых выше первого порядка. Что она однозначно определяет переходную функцию, мы увидим в § 10.2.
