Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
инфинитезимальный оператор лишь на функциях из Сф„н или
Ср2а'вн, найденные операторы, вообще говоря, не замкнуты, но
имеют замкнутое расширение (а именно, инфинитезимальный оператор). Для любого оператора, имеющего замкнутые расширения, всегда есть наименьшее замкнутое расширение, или замыкание оператора. Можно доказать, что в примерах д) (г > 1) и е) п. 2 § 10.1 инфинитезимальные операторы суть замыкания найденных операторов на С^ви. Существуют операторы, вообще
не имеющие замкнутых расширений (придумайте пример), но у нас они встретиться не могли.
Задача 4. Докажите, что В0 есть замыкание множества \в-
Задача 5. Пользуясь формулой (3), докажите, что для семейства одномерных винеровских процессов DA = СраВН.
Для семейства /--мерных винеровских процессов, г > 1, это будет уже не так, ибо оператор Лапласа не замкнут (см. Н. М. Гюнтер «Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики» (М.: Гостехиздат, 1953, § 14)).
В-четвертых, не может быть двух полугрупп с одним и тем же пространством В о таких, что инфинитезимальный оператор А одной из них является расширением инфинитезимального оператора В другой: DB a DA, и В} = Af для / е DB. Действительно, тогда мы получили бы, что оператор %Е — А взаимно однозначно отображает и множество Da, и его часть (DB) на одно и то же множество Во.
5. Приведем без доказательства теорему, дающую необходимые и достаточные условия для того, чтобы данный оператор был инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы сжимающих операторов (доказательство можно прочесть у Дын кина (1963, гл. I, § 4) или Ито (1963, § 38)).
Теорема Хилле — Йосида. Для того чтобы линейный оператор А с областью определения Da в банаховом пространстве Е был инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы сжимающих операторов Р* (сильно непрерывной, т. е. P^-^-f при для любого /е?), необходимы и достаточны следующие условия:
а) Da всюду плотно в Е;
б) при любом X > 0 существует определенный всюду на Е оператор (ХЕ — Л)-1;
в) II (ХЕ — Л)-1 II ^ Я-1.
В случае полугруппы на подпространстве пространства В ограниченных измеримых функций условие
251
г) операторы (ХЕ— Л)-1 сохраняют положительность необходимо и достаточно для того, чтобы полугруппа сохраняла положительность-, условие
д) 1 ^ Da, Л1 =0 — для того, чтобы Pl\ = 1.
Часть, касающаяся необходимости, фактически
уже нами доказана.
Для сильно непрерывных полугрупп в пространстве С непрерывных функций на компакте условия б)—г) превращаются в следующие два условия:
б') уравнение XF — AF = f имеет хотя бы одно решение для любого С, к > 0;
в') выполнен принцип максимума (см. § 10.1,
п. 5).
Задача 6. Докажите, что из условия в') вытекают ycj>o-вия в), г), а также единственность решения в условии б'), т. е. что из условий б'), в') вытекает условие б.
Задача 7. Оператор, ставящий в соответствие каждой функции / е С<2>[0, 1] П {/¦' /'(0+) = /'( 1 —) = 0} функцию
— является инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы сжимающих и сохраняющих положительность операторов Р1 в С[0, 1], Р'\ = 1. Докажите.
Это — инфинитезимальный оператор полугруппы, возникающей в примере п. 7 § 8.3. (Мы уже нашли, что э С(!) [0, 1]П{/:
/'(0+) = /'(1—) =0}, и для таких функций A) стро-
гое включение отпадает в силу одного из следствий результатов п. 4.)
§ 10.3. Инфинитезимальные операторы и марковские процессы
Раз инфинитезимальный оператор однозначно задает конечномерные распределния марковского семейства, то в терминах инфинитезимальных операторов в принципе можно формулировать любые условия, касающиеся конечномерных распределений, решать любые задачи, связанные с марковскими процессами. Многие задачи, оказывается, можно решать не только в принципе.
1. Сначала займемся сугубо теоретическими вопросами.
Как связаны свойства инфинитезимального оператора со свойствами непрерывности траекторий? У нас
7.52
есть условия существования марковского семейства с данными свойствами траекторий в терминах функций ае (h) — sup P(t, х, Vt(x)) (см. § 9.1). Оказы-
t < h. хеХ
вается, условие lim ае (Л) = О выполняется при очень
слабых предположениях, а это условие обеспечивает непрерывность справа и наличие пределов слева у траекторий.
Микротеорема 1. Пусть для марковского семейства на компактном фазовом пространстве X пространство Во — С — С(Х). Тогда выполнено условие равномерной стохастической непрерывности.
Доказательство. Пространство X покрыто окрестностями UE/3(x), х^Х\ выделим конечное покрытие Ue/3(xi), ..., ие/з(хп). Для каждой точки х,-возьмем неотрицательную непрерывную функцию /, (х), равную нулю в ?/е/з(*;) и единице в У2е/з(xt). Эти функции принадлежат В0, так что для любого б > О существует h0 > О такое, что | P‘fi(x) — /, (х)|<б при всех i от 1 до я, всех х^ X и t h0. Для х е Ue/3 (х,) получаем
