Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Зафиксируем множество А из ^|0’оо), содержащее С. Принадлежность функции х. е А-'0’ °о) множеству А определяется ее значениями в счетном числе точек
11, t2, ..., tn,
Задача 1. Пусть TQ = {tu t2, ...}. Докажите, что среди всех ЛзС, есть
наименьшее, Л0: оно состоит из всех функций х., равномерно непрерывных на множестве T’oflfO. N] при любом N.
Докажем, что Рх {I. еЛ0}=1; раз Л0 е Л, отсюда получится и Рх{?. еЛ}=1. Для этого используем выражение множества Л0 через более простые.
Задача 2. Докажите, что .Y[0'00 ( \ Л0 =
оо оо оо N П—\
= U U Г) BNnm, где BNnm= U U {*•:
N = I m = l п = 1 ft — О /еГоП [k/n, {k+2)fn\
Р(Xkin, xt)^\/т}.
Оценить РХ{Е. ^BNnm\ нам поможет следующая
Лемма. Пусть tu t2, ..., tk ^ h. Тогда
МЧ’Ч’ ¦¦¦Л^ие(х)}> 1-2ае/2(А).
Доказательство. Введем марковский момент т = min %t ф Us (jc)j или + оо, если все <= Uъ (х),
1 Нам нужно доказать, что Рх {т^/г} ^2аЕ/2(А).
Положим т\ = h — т, Л = {т^А} и воспользуемся строго марковским свойством (оно выполнено, так
232
как случайные величины т и rj дискретны):
Р Х(А П {lh^U„2(x)}) =\p(h~ т, lx, UM) Рх (da). (1)
А
Точка 1Г находится от х на расстоянии не менее е, поэтому все точки из Ue/2(x) удалены от больше чем на е/2, т. е. Ue/2(x)Е Уе/г(Ы- Значит,
Р (h — т, 1Х, иг!2 (*)) < Р (h — т, ?т, Ке/2 (У)<ае/2 (Л).
Отсюда следует, что вероятность (1) не превосходит ae/2(/i). Имеем
Рх (>4) < Рх (А П е ^е/2 (*)}) + Рх lift U*I2 (X)} <
^ ае/2 (h) -f- ae/2 (h).
Из доказанной леммы вытекает, что Рх{\(^иг(х) для всех / е Го П [О, Л]} ^ 1—2aE/2(/i); это следует из того, что событие под знаком вероятности — предел последовательности событий (= Uг (х) дли всех
/. ^ h, 1 ^ L
Используя марковское свойство относительно момента s, получаем, что также Рх {lt е UE (?s) для всех t <= Го Г) [s, s + h}} = Рх (071 {tt е i/e (Ео) Для всех / <= е (Г0 - s) П [О, Л]}) > 1 - 2ае/2 (Л).
Из этих оценок вытекает неравенство
Рх <= BNnm) < Nn • 2ai/2m (2/n) -> 0 (n ^ оо);
оо
так как П BNnm Выпт ДЛЯ любого П, ТО
п~ 1
Рх |l. ^ Д BNпт | < Рх {I. е= BNnm} для всех п, и
^^1=0. Отсюда Рх{|. ^/4} = 0, что
доказывает теорему.
2. Теорема 2. Пусть для любого е > 0 существует h > 0 такое, что <хг/2 (h) < 1/2. Тогда существует марковское семейство с данной переходной функцией, траектории которого имеют пределы справа и слева в каждой точке временной оси.
Доказательство этой теоремы сходно с доказательством теоремы 1 и основывается на той же лемме. Не будем
233
приводить его, только дадим основной пункт в виде необязательной задачи.
Введем определение. Пусть функция f(t), заданная на каком-то подмножестве Т числовой оси, принимает значения в метрическом пространстве. Мы будем говорить, что f(t) имеет k е-колебаний на Т, если существуют ta <. ti <....<. tk, ti^T такие, что p(f(^_i), f(ti)) 3s e. *’=1, ....А, причем k — наибольшее из таких чисел. Например, функция sin 0 ^ t ^ 10, имеет шесть 1-колебаний.
Задача 3*. Пусть 0 ^ ti ^ tn ^ h\ обозначим.через v число е-колебаний в последовательности ?0, ..
Тогда Px{v^m}s^[2a е/4 (А)Г
Совершенно так же, как раньше, получаем для числа Vе [s, s + h] Е-колебаний функции |<(ю) на множестве Т'о П [-s, s + Л] (То счетно) оценку Рх {ve [s, s + h] ^ m} <[2
ae/4 W]m> во всяком случае, с вероятностью 1 это число колебаний конечно.
Далее нужно иметь в виду, что функцию на Го со значениями в полном метрическом пространстве тогда и только тогда можно продолжить на [0, оо) без разрывов второго рода, когда она для любого е > 0 имеет конечное число е-колебаний на каждом конечном отрезке.
Теорема 3. Пусть aE(h)-+0 при h\0 для любого е > 0. Тогда существует марковское семейство с данной переходной функцией, траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева в каждой точке.
Заметим, что условие limae(/z) = 0 является усло-
вием равномерной стохастической непрерывности соответствующего марковского семейства. Действительно, для обозначим через В событие, состоящее
в том, что р(g0, g,_s)>e. Имеем P*{p(?s, g,) > е} =
= Рх (07 'В) = MxPis (В). Но Ру (В) = Ру {р (g0, Its) >
> е} = Ру {р (у, gt_s) >е} = Ру {g,_s е= Fe (у)} = P(f — s, У, Ve(y))^ae(t — s). Поэтому Рх {р (gs, g,) > е} < ^ae(/ — s)-*0 при t — s->0. Но это и есть равномерная стохастическая непрерывность — равномерная и по начальной точке х, и по всему множеству [0, оо) изменения s, t.
Доказательство. Из условия теоремы 3 вытекает условие теоремы 2; пусть (g(, Рл) — марковское семейство с траекториями без разрывов второго рода с данной переходной функцией. Положим ?< = gf+, /е[0, оо) (предел справа, по предположению, существует). Стохастическая эквивалентность g; и g< вытекает из стохастической непрерывности g(; (gt, PJ —
