Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ш-множество здесь в силу определения новых траекторий можно заменить на {со: ?>s + i + h (со) е Г5 + ( + й}- В правой части (5), опять-таки в силу нашего определения новой вероятностной меры, стоит MsiX%AsP' (А> (s- “). Г). Ho l't (s, со) = (s + t, ?s+< (со)),
и значение переходной функции под знаком математического ожидания равно Р (s + t, t,s + t (со), s + t + h, Г < + ft). В силу марковского свойства для исходного марковского семейства правая часть превращается в Ps)Л(^П{со: ls + < + h (“) е rs + i + h}). т. е. в левую часть (5).
Смысл введенного нами преобразования, превращающего неоднородное марковское семейство в однородное, очень простой: мы просто вводим еще одну дополнительную пространственную координату, по которой происходит равномерное движение направо со скоростью 1; при этом неоднородность по времени превращается в неоднородность по пространству, которой мы не боимся.
Отныне, если не оговорено противное, мы будем рассматривать только однородные марковские семейства.
§ 8.5. Строго марковские процессы
0. Сначала введем одно определение, близкое к нашему определению марковского процесса, но не совпадающее с ним. Пусть на пространстве элементарных событий Я задано неубывающее семейство cr-алгебр STt, t еГ; пусть задан случайный процесс ?(, teT. Мы будем говорить, что — марковский процесс относительно семейства а-алгебр t с данной переходной функцией, если, во-первых, процесс |/ согласован с семейством а-алгебр, а во-вторых, для любых t ^ и, Г е ^ почти наверное
р{^еГ I У,} = Я (<, Б,, и, Г). (1)
Любой марковский процесс является марковским относительно а-алгебр ^ {, для некоторого класса процессов мы докажем (§ 9.2), что они являются марковскими относительно семейства
Ясно, как дается определение марковского семейства относительно данного семейства а-алгебр.
1. При изучении марковских процессов бывают ситуации, в которых нам важно, сохраняется ли свойство независимости будущего от прошлого при фиксированном настоящем, если настоящее понимать не как значение процесса в фиксированный момент времени, а как значение его в случайный момент времени. Рассмотрение этого вопроса показывает, что, во-первых, даже для самых хороших марковских процессов здесь в качестве настоящего нельзя брать произвольный случайный момент времени. Например, предположим, что наш случайный процесс
219
достигает какой-нибудь точки а конечное число v раз, причем v — случайная величина, принимающая значения 1, 2, 3, ...
..., п...Обозначим через т тот момент времени, в который
процесс достигает этой точки в [(v+ 1)/2]-й раз; тогда прошлое и будущее относительно этого момента зависимы, хотя положение процесса в момент т фиксировано; это — точка а. Действительно, число раз, которые процесс побывал в дайной точке до момента т, — случайная величина [(v—1)/2], принимающая значения 0, 1, 2, ...; число раз, которые процесс побывает в этой точке после момента т,—случайная величина [v/2], принимающая те же самые значения. Но они никоим образом не независимы, потому что эта пара случайных величин может принимать не любые значения, а лишь совпадающие друг с другом или отличающиеся на единицу. Поэтому приходится ограничиться только марковскими моментами', для них точно определяется, что означает, что будущее зависит от прошлого только через настоящее, и это некоторое особое свойство процесса, строго марковское свойство. Так же, как и марковское, оно имеет ряд формулировок различной силы и применимости и различного вида.
Затем, и это во-вторых, оказывается, что есть «плохие» марковские процессы, для которых зависимости прошлого и будущего нет для неслучайных моментов, но она есть для марковских случайных моментов. Это означает, что строго марковское свойство — не только не то же, что марковское, но даже и не эквивалентно ему (а сильнее).
Все дальнейшие формулировки относятся к марковским семействам, а не к отдельным процессам.
2. Пусть (?(, Рх) — однородное марковское семейство (^е 71 = [0, оо) или {0,1,2, ...}). Пусть в пространстве элементарных событий задано неубывающее семейство ст-алгебр /, t <= Т, SFt <= SF>0.
Микротеорема 1. Пусть процесс ^(со) прогрессивно измерим относительно семейства 9~t (см. § 6.2). Тогда переходная функция P(t,x,T) измерима по (t,x) относительно о-алгебры МтХ.86 при любом ГеГ
Доказательство. Разумеется, здесь есть что доказывать только для Т = R+. Достаточно для любого t ^ 0 проверить измеримость P(s, х, Г) при (s, х) е [0, i'] X X относительно ^[о ,t\~XS6- Введем •^[о, „Х^ (-измеримое множество A ={(s, со): O^ssc^, (со) е Г} ^ [0, i'] X Переходная вероятность
Р (s, х, Г) — не что иное, как Рх-вероятность сечения этого множества «на уровне s», т. е.
Рх{е>: (s,<o)t=A}. (2)
Докажем больше, чем мы хотели заранее: что для любого ^lo, (j X f гизмеримого подмножества [0,/]Х
220
X ?2 функция (2) на множестве [О, ^]Х^ измерима по (s, х) относительно а-алгебры t\ X 36•
