Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
5. Феллеровские марковские семейства. Пусть X — метрическое пространство, Зв=ЗИх\ С — пространство ограниченных непрерывных функций (на некомпактном X могут быть неограниченные непрерывные функции). Семейство (lt, Ps, *) называется фел-леровским, если PstC ^ С при любых s ^ t. Иначе говоря, для любой непрерывной ограниченной функции f на X функция Pstf(x) должна быть непрерывна по х (ограниченность выполняется автоматически): при
х—>Хо е X должно быть
^ Р (s, х, t, dy) f(y)->^P (s, x0, t, dy) f (y).
X X
Итак, требование феллеровости семейства (касающееся, между прочим, только его переходной функции) состоит в том, что распределение P(s, х, t, •) слабо сходится к P(s, х0, t, •) при х—*х0-, т. е. это—¦ требование, состоящее в слабо непрерывной зависимости переходной функции от второго аргумента (точка отправления). Это весьма естественное требование,
208
что, разумеется, не означает, что оно выполнено для всех марковских семейств.
Приведем примеры феллеровских и не феллеров-ских марковских семейств. В качестве X возьмем прямую /?', = Ях. Процесс устроим следующим
образом: это — неслучайное движение вправо с единичной скоростью, т. е. \t — + t — s. Переходная
функция такого процесса будет P(s, х, t, Г)=дх + 1_3 (Г). Строим семейство операторов Pst:
pstf W = ^ Р (s, х, t, dy) f(y) = f(x + t- s).
— OO
Это — сдвиг влево на t — s; оператор этот, естественно, переводит непрерывные функции в непрерывные, т. е. семейство таких процессов — феллеровское. Чтобы понять это, можно было и не строить семейства операторов, а просто заметить, что распределение Р (s, ,t, t, •), сосредоточенное в точке x-\-t — s, зависит слабо непрерывным образом от х.
Теперь рассмотрим такое семейство процессов на (/?', $1): на левой полупрямой — движение влево
с единичной скоростью, на правой полупрямой — вправо; а траектория, начинающаяся в пограничной точке 0, идет с вероятностью 1/2 влево и с вероятностью 1/2 вправо. Запишем это формально с помощью вероятностей *:
Ps, X {It = X + t — s, / > s} = 1, x > 0;
P*,xlh^x — it — s), t^s} = I, x < 0;
Ps,o{h = t — s> t>s} = Ps,o{lt=—(t — s), t>s}= 1/2.
Легко видеть, что это — марковское семейство; соответствующие ему операторы Pst задаются формулой
Pstf(x) = i
f{x + {t — s)), х > 0; f{x — {t — s)), x < 0;
-у f(t — s) + ~f (— (t — s)), x = 0.
На рис. 24 показано, как действует оператор Pst на произвольную непрерывную ограниченную функцию f. Функция Pstf терпит разрыв в нуле, значит, рассматриваемое семейство — не феллеровское. Это можно было видеть сразу: распределения, соответствующие
209
начальной точке 0 и близким к ней справа и слева точкам, далеки друг от друга, а именно: первое сосредоточено поровну в точках t — s и —(t — s), симметричных относительно нуля; распределение, соответствующее начальной точке, близкой к нулю, но лежащей справа от него, сосредоточено вблизи точки t — s, а слева — вблизи точки — (t — s).
Конечно, легко построить примеры феллеровских и не феллеровских марковских цепей.
] ~(ts) f f(x) г\ /-ч. « Pstf(x)
Ayv-
.•
У 0 V/ 0 X
t-s
Рис. 24
6. Любому феллеровскому марковскому семейству соответствует семейство операторов Pst на пространстве С, удовлетворяющее требованиям а)—е) п. 1. Сейчас мы докажем для случая компактного фазового пространства обратную теорему.
Теорема. Пусть X — компактное метрическое пространство, 36 = ЗВх. Пусть на пространстве С непрерывных функций на X задано семейство операторов Pst, s t, s, <еГ ^R\ удовлетворяющее требованиям а)—е) п. 1. Тогда существует феллеровское марковское семейство (It, t^T\ PS)X), которому соответствует данное семейство операторов.
Доказательство. Достаточно доказать, что Psif представляется в виде
pstf(x) = \p(s, x,t,dy)f(y), (8)
X
где Р(% •, •, •) — функция, удовлетворяющая многократно упоминавшимся ранее условиям 1)—4) п. 1 § 8.1.
Зафиксируем s, t, х; тогда Pslf(x), согласно условиям а), б), — линейный ограниченный функционал на С (с нормой =5^1), и, значит, он представляется в виде интеграла от f по некоторой мере со знаком. Обозначим эту меру — она, конечно, зависит от s, t, х — через P(s,x,t,-); мы получили формулу (8),
210
остается установить свойства функции P(s,x,t, Г). Как функция последнего аргумента это — мера в силу условия в); это — вероятностная мера в силу условия г). Условие д) превращается в условие 3) (P(s, х, s, Г) =6*(Г)). Что касается условия 2) и уравнения Чэпмена — Колмогорова (которое должно появиться из условия е)), то тут необходима некоторая техника.
Условие 2) состоит в измеримости по х функции P(s,x,t,T), или, что то же, {j Р (s, х, t, dy)xv (у).
X
