Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 81

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 146 >> Следующая


Пусть Т = R+ или Z + \ (X, 36) — измеримое пространство; P(t, х, Г) — функция, удовлетворяющая условиям 1) — 3) п. 1. Пусть на пространстве элементарных событий задана функция ?f(co), t^T, mgQ, принимающая значения в X, и для любых h е Т и соей существует хотя бы одно со+ е 12 такое, что ^ (со+) = ^+Л (со) при всех teT. Определяются ст-алгебры f>o, порождаемые множест-

вами {^s е Г), s^O, соответственно s Пусть Рх при каждом х X — вероятностная мера на ст-алгебре Пара (?;, Рх) называется однородным марковским семейством с переходной функцией P(t, х, Г), если для любых t, h^T, jcel, Ге!1 почти наверное (Рх)

РЛ^+йеГ|^,} = Р(А, lt, Г). (2)

При этом уравнение Чепмена — Колмогорова (условие 4) п. 1) выполняется автоматически.

Марковское свойство (2) можно переписать в большом числе различных эквивалентных форм; скажем, с условными математическими ожиданиями в интегральной форме: для t,h^T, xel, f еВ и любого события

$ / (^) р* (Ло)=$ я*/(и рл^).

А А

Конечномерные распределения однородного марковского семейства записываются так: для 0 ^

216
< t\ < ...

P*{(4’ "Ч)еС]

= ^ Р {tu х, dXi) ^P(t2 — h, xh dx2) . . .

X X

• • • 5 Pifn — tn-1. xn-i, dx„)xc (X\, • • •> Xn).

X

Имеет место следующая теорема существования.

Теорема 1. Пусть (X,SB) — борелевское измеримое пространство. Пусть P(t,x, Г) — функция от t^T (=Р1 или Zl), xel, Tef, удовлетворяющая условиям 1)—4) п. 1. Тогда существует однородное марковское семейство с Р(-, ¦, •) в качестве переходной функции.

Это — приспособленная к однородному случаю теорема 5 § 8.2. Единстр.енное, что нуждается в отдельном доказательстве, — это то, что выполнены условия, обеспечивающие существование операторов сдвига. Но эти условия выполнены для случайных функций, которые получаются конструкцией, примененной при доказательстве теоремы Колмогорова: при этом траекториями оказываются все функции, и между траекториями и элементарными событиями имеется взаимно однозначное соответствие.

Переносится на однородный случай также теорема п. 6 § 8.3:

Теорема 2. Пусть на пространстве С непрерывных функций на компактном пространстве X задана полугруппа Р* сжимающих и сохраняющих положительность операторов такая, что РЧ = 1. Тогда существует феллеровское однородное марковское семейство (?/> PJ на (Х,38х), которому соответствует данная полугруппа.

4. Марковское свойство для однородных марковских семейств можно сформулировать в более сильной с виду форме, соответствующей формуле (17) § 8.2. Предоставим его доказательство читателю.

Задача 2. Докажите, что если (%t, Р*) — однородное марковское семейство, то для любого события и любых /еТ, i:eJ почти наверное (Рх)

р, (ег'я|;Г<0 = р?,(в)- (3)

217
Марковское свойство в форме (3) интерпретируется так: поведение процесса после момента t при условии, что фиксировано его течение до этого момента, такое же, как если бы мы выпустили его из точки

Ы®)-

Некоторые другие формы марковского свойства, родственные форме (3): для любой ограниченной ^>о-измеримой случайной величины г| почти наверное (Р*)

или: для любой ограниченной ^>о-измеримой случайной величины т| и любого А е f

б^Р* (dto) = ^ (da)] (4)

А А

или: для любой ограниченной ^>о-измеримой величины т| и любой ограниченной ^"^гизмеримой величины ?

IVU0,ti = М^М|,Л-

5. Оказывается, неоднородные марковские семейства можно при помощи некоторого искусственного приема свести к однородным.

Пусть Т = R+ или Z+, и (|(, /еГ; Ps ^ —неоднородное марковское семейство. Введем:

новое фазовое пространство X' = Т X Х\ в качестве а-ал-гебры 8В' возьмем а-алгебру всех множеств Г s X', для которых любое сечение Г5 = {х: (s, jjeT) измеримо относительно 9В\ новое пространство элементарных событий Й' = 7’ХЙ: со' = (s, со), se7, щей;

новые траектории \'t (со') = \'t (s, со) = (s + /, |s+i(<a)) со значениями в Х'\

новые вероятностные меры РЛ./(Л) = Р^ (А) = Р5 x(^ls). где = {со: (s, со) е А'};

новую переходную функцию (однородную), определенную при (еГ, х' — (s, х) el', Ге 9Ё'\

P'(t, х', Т) = Р (s, x,s + t, Ts + t),

Г, + / = {х: (s + /, х) ее Г}.

Покажем, что это будет однородное марковское семейство, причем именно с данной переходной функцией. Достаточно проверить выполнение условий, налагаемых на переходную функцию, возможность определить операторы сдвига и выполнение условия

Р'х. (А П {со': Sj+fc (со') е Г}) = м'х, %АР' (A. l't (со'), Г), (5)

при А <= t.

218
Покажем только, как проверяется последнее условие. Слева здесь, согласно определению вероятности р'х,, стоит Ps ,,.(ЛХГ|

П {“'• l't + h (s’ “) s Г})> As = <s- “) s A) e [s, *+<]• Второе
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed