Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это получается применением строго марковского свойства (3) к моменту х первого достижения точки у, т| = (п — г) V 0, Г == {у}, А = {г ^ п).
Формула (9) и ее частный случай при х = у являются основными при изучении предельного поведения р(п, х, у) при п -*¦ оо (см. Ф е л л е р, 1967, т. 1, гл. XIII, § 3; гл. XV, § 5).
б) «Принцип отражения» для винеровского процесса. Предположим, что доказано, что винеровский процесс — строго марковский. Пусть фиксированы какие-то точки х<аЕ^ и (>0. Рассмотрим марковский момент х—первый момент достижения а, т] = = (t — г) V 0, Г е J1, Л={т^/}. Запишем формулу (3):
Px{x^t, »,еГ}= ( P(t — х, а, Г) Рх (dm). (10)
223
Если отразить множество Г в точке а, то в силу симметричности нормального распределения вероятность
(10) не изменится. Для множества Ге(—оо, а) получим
Рх (т ^ t, wt<^ Г} =
= Рxb<t, ш(е2а — Г} = Рх {wt е 2а — Г}. (11)
Второе равенство выполняется потому, что если траектория начинается в точке х <С а, а в момент t оказывается правее а, то она непременно побывает в точке а до момента t.
Из формулы (11) можно получить распределения различных случайных величин, например совместное распределение wt и шах ws и т. п. (ср. задачи 17, 18
0<s< t
§ 5.3). В частности, из формулы (11) при Г = (—оо, а) получаем
Рх {г = Рх {т</, Wt<EE(—ОО, а)} +
+ Рх {т < t, wt е (а, оо)} = 2РХ {wt е (а, оо)} =
оо
= 2 5
а
(Ср. найденное распределение с оценкой задачи 6 § 7.3.) Дифференцируя функцию распределения, получаем плотность распределения случайной величины
т: PAt) = ^e-^mt,t>0.
Задача 1. Пусть (wt, Рж) — семейство винеровских процессов, выходящих из всех точек прямой; х— первый момент, когда wt достигает нуля. Положим w° = wt при t < т, w°t = 0 при t^x (иначе: w°t = wt д т); это — винеровский процесс, остановленный в момент первого достижения нуля. Докажите, что Рх, х + )— марковское семейство; найдите переходную функцию.
5. Теперь рассмотрим пример марковского, но не строго марковского семейства. Ясно, что это будет не цепь Маркова и не феллеровское семейство; в частности, вряд ли какой-либо из приведенных ранее примеров.
Пусть (wt,t^ 0; PJ — семейство винеровских процессов, выходящих из каждой точки прямой. Изменим это семейство в одной точке следующим образом: по-
224
ложим \t-wt, если хю0фО, и ^ = 0, если two = 0; пример траектории, выходящей не из нуля, и траектории, выходящей из нуля, представлен на рис. 25.
Семейство (lt, t ^0; Рх) будет марковским с переходной функцией
P(t, х, Г)
>(Г),
Действительно, эта функция измерима и всем хороша; нужно доказать, что для t, h^O, Ге J1
при любом х^ R1
РхИП&+Ле=Г})=$Р(А, 1и Г) Px (da>). (12)
Но если хфО, то с вероятностью 1 %t = Wt', вероятностная мера Рх слева и справа та же, что для винеровского процесса, выходящего из точки х. При этом Рх {?* = 0} = Рх {wt = 0} = 0, и функция под знаком интеграла совпадает с соответствующей переходной вероятностью для винеровского процесса при значении второго аргумента, не равном нулю, т. е. почти всюду. Итак, в этом случае (12) сводится к марковскому свойству для винеровского процесса. Если же х = 0, то здесь все будет так же, как у марковского процесса, состоящего в стоянии на месте; а именно, если А содержит элементарное событие, для которого Wq = 0 (и значит, ?* = 0), а ГэО, то обе части (12) равны единице, в противном случае — нулю.
В то же время семейство не будет строго марковским: взяв хфО и подставив в (3) T = min{^:
==0}, Л = (1 — т) V 0, Л = {т<1}, T = Rl\{0},
8 А. Д. Вентцель
225
получим слева Рх{т^1, li ф 0} = Рх {т ^ 1} = = 2[1 — Ф(| х |)] > 0, а справа нуль.
Траектории 11 непрерывны, так что мы можем быть уверены, что это семейство не феллеровское; и действительно, соответствующая полугруппа переводит непрерывные функции, вообще говоря, в разрывные (рис. 26).
Разумеется, можно привести примеры, когда строгой марковости кет из-за нарушения условия измеримости а): таков, например, процесс с независимыми значениями из задачи 4 § 2.1; но такие теоретико-множественные тонкости и уродства неинтересны.
6. Выведем форму строго марковского свойства, которая будет касаться не событий, состоящих в попадании процесса в какой-то один момент в какое-то множество, а произвольных событий из а-алгебры ^>0 (ср. формулы (17) § 8.2, (3) § 8.4). Прежде всего для строго марковского семейства процессов ?* введем операторы сдвига 0Т, 0тГ' на случайное время.
Пусть т = т(ш) — случайный момент, измеримый относительно ^~>о, принимающий значения из множества ^{оо}: В пространстве ?2 определены операторы 0/, t^T, вообще говоря, не однозначные, а ставящие в соответствие одному элементарному событию со целое множество элементарных событий 0«со. Оператор 0t мы определили как оператор, ставящий в соответствие элементарному событию со элементарные события 0tco = 0t(ffl)tt>. Иначе говоря, 0хсо — результат подстановки в (неоднозначную) функцию 0«со вместо первого ее аргумента функции от второго, а именно т(со). Аргумент t в 0;со должен принимать только конечные значения, а т может равняться бесконечности, в этом случае 0tco не определено, потому что не определено 0оосо. Это означает, что оператор 0t определен, вообще говоря, не на всем ?2, а только на той его части где х < оо. Множество оператор 0t отображает
