Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
г') vPst (X) = v (X); в частности, вероятностные меры переводятся в вероятностные.
205
Операторы Pst в пространствах В и V сопряжены друг к другу; т. е. для |eB,veV
(v, Pstf) = (vPst, f) (6)
(точнее, оператор Pst на V — сужение оператора в В*, сопряженного к оператору Pst в В, и наоборот). Справедливость (6) вытекает из того, что обе части равны
jj jj v(dx)P(s, х, t, dy)f(y).
x x
Свойства операторов Pst в одном пространстве можно выводить из свойств операторов Pst в другом; в частности, формулу (5) можно вывести из (3) (или (3) из (5)), пользуясь тем, что сопряженный оператор к произведению — это операторы, сопряженные к сомножителям, перемноженные в другом порядке. Задача 1. Докажите, что I! Pst || = 1.
3. Операторы Psi связаны непосредственно лишь с переходной функцией, а не со случайным процессом. Укажем, в каком отношении они находятся к марковским процессам и марковским семействам, т. е. какой их вероятностный смысл.
Определение (1) переходит в
Pstf(x) = MSiXf(lt), /еЯ. (7)
Пользуясь этими операторами, можно в еще одной форме записать марковское свойство:
MS'X(f(U\^s,t]) = Ptuf(h) (П. н. ря>*).
Что касается операторов, действующих на меры, их вероятностный смысл более прозрачен. Пусть v — вероятностная мера на (X, 36). Если мы выпустим наш процесс в момент времени s из случайной точки, имеющей распределение v (т. е. рассмотрим марковский процесс \t, t^Tf)[s,oo), соответствующий вероятностной мере Ps v (А) = ^ v (dx) Ps х (Л)), то рас-
пределение в момент t ^ s будет как раз vPst: vPst (Г) = Ps v е Г}.
Итак, операторы Pst в пространстве V описывают эволюцию одномерного распределения с течением времени.
4. Естественно возникает такой вопрос. Пусть дано семейство операторов Pst в пространстве В (будем
206
говорить о пространстве функций, так как вообще удобнее иметь дело с функциями, чем с мерами), и пусть это семейство удовлетворяет условиям а)—е) п. 1. Можно ли утверждать, что существует марковское семейство, которому соответствует данное семейство операторов? Оказывается, для ответа на этот вопрос существенно, совпадает ли пространство В*, сопряженное к В, с пространством V мер со знаком или имеет место строгое включение: B*^V. Равенство В* — V будет иметь место для конечного фазового пространства X: оба банаховых пространства — конечномерные, одного и того же числа измерений; но уже для счетного X, пользуясь теоремой Хана — Банаха, можно построить пример линейного ограниченного функционала, не представимого в виде интеграла; т. е. В* zd V.
Посмотрим, что будет, если В* = V (т. е. для конечного X). Любой линейный ограниченный функционал <p(f) представляется в виде <v, /), где v — некоторая мера со знаком; применим это к функционалу Pstf(x) (s, t и х фиксированы). Получим
Pst'f (х) — ^ Р (s, х, t, dy) f (у), где Р (s, х, t, .) — мера со зна-
X
ком (в данном случае интеграл сводится к сумме). В силу свойства в) P{s,x,t,.)— мера, т. е. неотрицательная счетно-аддитивная функция множества; она является вероятностной в силу свойства г). Измеримость по х здесь тривиальна; свойство д) превращается в P(s, х, s, Г) = (Г), а свойство е) —в уравне-
ние Чэпмена — Колмогорова.
Вся беда в том, что в большинстве случаев математического исследования мы имеем дело с бесконечными множествами, а для конечного фазового пространства незачем вообще рассматривать операторы— можно обойтись просто матрицами. К счастью, при некоторых ограничениях на пространство (X, 36) банахово пространство V будет сопряженным пространством по отношению к определенному пространству функций.
А именно, пусть X—компактное метрическое пространство; 36 =$х — множество всех борелевских подмножеств Х\ С — пространство непрерывных числовых функций на X. Все непрерывные функции на компакте автоматически ограничены и измеримы, так что Сей. Известно, что любой линейный ограниченный функционал на пространстве С представляется
207
в виде интеграла по некоторой мере со знаком:
Ф (/) = <v, /)= ^ v(dx)f(x),
X
причем функционалу, принимающему на неотрицательных функциях неотрицательные значения, соответствует неотрицательная мера v (для случая, когда X — отрезок, это — теорема Ф. Рисса; общий случай см. X а л м о ш, 1953, § 56). Это вместе с тем фактом, что разным мерам соответствуют разные функционалы (доказать!), и означает, что V = С*.
Это не спасает, однако, положения во всех случаях. Дело в том, что операторы Pst действуют на пространстве В и тем самым переводят любую функцию из С в некоторую функцию, принадлежащую пространству В, но, вообще говоря, эти операторы нельзя рассматривать как действующие в пространстве непрерывных функций. Требование PstC s С является ограничением — не слишком жестким и не слишком уродливым, но ограничением. Это ограничение выделяет некоторый класс марковских семейств; так как ограничение PstC^C было впервые введено В. Фел-лером, такие марковские семейства называются фел-лгровскими.
