Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
199
Теорема 4. Пусть P(s,x,t,T), s^t, s,t<^T, x <E= X, Tef, — марковская переходная функция. Определим для любых s i <С ... <Ltn и х^Х
вероятностную меру х. t t на(Хп, 9Вп) формулой
(порядок интегрирования — с конца). Тогда при фиксированных s, х эти меры образуют согласованную систему конечномерных распределений.
Доказательство. Первое условие согласованности, связанное с перестановками tu ..., tn, проверять не надо: просто для моментов времени, идущих не в порядке возрастания, мы определяем конечномерные распределения так, чтобы это условие было выполнено. Что касается второго условия согласованности, то нужно учитывать, что опускаемый момент времени может быть любым по порядку среди
t\, • • - » tn.
Нужно проверить, что
Формулы (19), (20) выводятся из уравнения Чэпмена— Колмогорова при помощи следующей леммы (данной в виде задачи).
Задача 1. Пусть P(s, х, t, Г)—марковская переходная функция. Тогда для любой ограниченной измеримой функции / на фазовом пространстве X, для лю-
х
хг,+1х ... хг„); (20) 11<П (Г1Х-..ХГ^1Х^) =
= ..*„_,(Г1Х... ХГЛ_,). (21)
200
бых S^-t^-UHX^X
jj P (s, x, t, dy) jj P (t, y, u, dz) f (z) =
X X
= ^ P(s, x, u, dz)f(z). (22)
x
При выводе формулы (20) полагаем
f (2) = Хг(.+1 (2) ^ P(fi + v Z' h+2’ dxi+2) ^
^i + 2 г1+з
• • • 5 р({п-ь xn~ь tn, dxn),
rn
s = ti-j, t — tj, и = ii+\, а в качестве x берется переменное Xi~i; обе части (20) оказываются интегралами от выражения (22) по одному и тому же множеству. При выводе (19) еще проще: s — это s, а х — это х.
Для вывода формулы (21) не нужно даже использовать уравнение Чэпмена — Колмогорова: она следует из P(tn-1, Хп-1, tn, X) = 1.
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть (Х,9В) — борелевское измеримое пространство-, пусть P(s,x,t,T) — марковская переходная функция на нем. Тогда существует марковское семейство (lt, PSjJ:) с P(s,x,t,T) в качестве переходной функции.
Доказательство. Воспользуемся только что доказанной теоремой и теоремой Колмогорова (см. § 5.1). При любых s их мы можем в качестве пространства элементарных событий взять Xrnis-°°), в качестве основной о-алгебры — S6T^S' °°> и определить случайный процесс |t{x-) = xt и вероятностную меру Р' х на (X^nis, оо)( ^rnis, °°))( относительно
которой конечномерные распределения процесса будут
^s’ х' 11.1п
Это еще не то, что нам надо: мы хотим, чтобы для всех s, х было одно и то же пространство элементарных событий. Этому легко помочь: берем ?2 = Хт, определяем ^(л:.) как xt, рассматриваем ст-алгебру ^5 = ГП1-»(П порождаемую в пространстве Хт функционалами хt, /е Tfl [s> °°). и переносим вероятностную меру с пространства Хтп ls'°°> естественным
201
образом на пространство Хт. А именно, легко видеть, что любое множество Де^гИ15'">(1г) представляется, причем единственным образом, в виде
А = {хх'.е=А'}, Л'е= Я?™!*.-)э
где х' означает сужение функции хщ на множество Т Л [s, оо): x't = xt, t^Tf][s, оо) (функция х\ принадлежит пространству Xrnis, Полагаем Р5*(Л) =
= КАА'У
Конечномерные распределения ?*, t^s, относительно вероятностной меры Р5> х задаются формулой (15), и по теореме Г (|г, Ps> х)— марковское семейство с данной переходной функцией.
Теперь мы можем установить, скажем, существование семейства винеровских процессов, выходящих из всех точек.
7. Теорема 6. Пусть P(s, х, t, Г)— марковская переходная функция. Чтобы система конечномерных распределений, задаваемых формулой (1), была согласована, необходимо и достаточно, чтобы вероятностные меры \it, соответствующие разным моментам времени s sg t, были связаны уравнением (Г) =
= ^ ц3 (dx) Р (s, х, t, Г). Если это условие выполнено, о X
(X, SB~) — борелевское измеримое пространство, то существует марковский процесс с переходной функцией P(s, х, t} Г) и одномерными распределениями |i(: (Г) = Р {|( е Г}.
Доказательство — такое же, как у теоремы 4; мы его не приводим.
§ 8.3. Семейства операторов, связанные с марковскими процессами
0. Пусть (Х,8в)—измеримое пространство. Мы будем связывать с ним два банаховых пространства. Первое, В — пространство всех ограниченных ^-измеримых числовых функций /(х) на X с нормой ||/|| =
= sup|/(x)| (сходимость в смысле этой нормы — это х
равномерная сходимость). Второе, V — пространство всех счетно-аддитивных числовых функций множества (или «обобщенных мер», или «мер со знаком», или «зарядов»; см. Колмогоров и Фомин, 1968, гл. VI, § 5), определенных на а-алгебре с?~, в качестве нормы элемента veV мы возьмем его полную вариацию на всем пространстве: ||v|| = |v|(^) (определение см. там же). Нетрудно видеть, что для ||v|| вы-
202
полнены все свойства нормы; доказательство полноты пространства V см. Гихман и Скороход, 1965, гл. II, § 1, теорема 5.
