Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
X
F (х) = ^ f(y)dy (f — плотность распределения), причем не зави-о
сящие друг от друга и от прихода заявок. Будем описывать состояние системы массового обслу-
? ?__________>__________ живания при помощи фазового
х 00 пространства, изображенного на
' рис. 23. Здесь точка 5 соот-
Рис. 23 ветствует тому, что канал обслу-
живания свободен, а точка х на луче [0, оо) —такому состоянию системы, когда канал занят, иричем уже в течение времени х. Движение системы происходит следующим образом: то она находится в состоянии 5, то на полупрямой [0, оо); находясь в точке 5, система может внезапно перескочить в точку 0 луча (что соответствует приходу заявки), и она начинает двигаться вправо с единичной скоростью. Затем в какой-то момент система (или частица, изображающая ее) опять перескакивает в состояние S (конец обслуживания); там она остается какое-то время, а потом опять скачет и т. д.
Можно доказать (если уточнить сойства потока заявок), что
это будет марковский пропесс.
Что касается переходной функции, то здесь легко выписать переходную функцию за малый промежуток времени At с точностью до бесконечно малых высшего порядка по сравнению с Дt. Это весьма общая ситуация. Как мы увидим впоследствии (см. § 10.2), это уже однозначно определяет и всю переходную функцию.
Так вот, для х = S
P(t,S,t + At,{S}) = \—aAt + o(At), (4)
где а — «плотность потока заявок»; для любого h > 0
Р (t, S, t + At, [0, h)) = a At + о (Д/),
P(t, S,t + At,[h, oo)) = 0
при малых At. Откуда берется (4)? Дело в том, что мы еще не уточнили, что значит «престейший поток заявок»; один из воз-
188
можных способов—это принять за определение марковский характер процесса и соотношение (4).
Теперь для х е [0, оо). Если обслуживание продлилось время х, а в течение еще промежутка времени At закончилось, то система попадает в состояние S и с вероятностью 1 — О (At) остается там в течение времени At. Поэтому
Р (t, х, t + At, {S}) ~ P {t e (x, x + Д^] | т > x], где т — длительность обслуживания. Значит,
P (t, x, t + At, {S}) = A< + о m;
далее,
P (t, X, t + At, {x + At}) = 1 - ! 1 (p\x) Af + о (д0;
P (t, x, t + At, [0, oo) \ {x + At]) = о (At).
д) За дальнейшими примерами марковских процессов (в частности, цепь Маркова, возникающая при тасовании карт) автор отсылает читателя к книге Ф ел л ер а (1984).
4. Перейдем к определению марковского семейства случайных процессов (или, короче, марковского семейства). Это понятие связано с представлением о возможности начать случайное движение системы по произволу в любой точке фазового пространства. Определение будет довольно сложным, но эта сложность оправдана.
Пусть фиксированы некоторое множество Т на числовой прямой и фазовое пространство (X, ЗБ) и задана функция P(s,x, t, Г), удовлетворяющая условиям 1)—4) п. 1. Пусть имеется пространство элементарных событий й, и на ГХА задана произвольная функция |*(со), принимающая значения в X. Заметим, что это еще не случайный процесс, так как на ?2 не только нет пока никакой вероятностной меры, но даже еще и не задано никакой ст-алгебры. Свяжем (см. § 3.1) с функцией (со) ст-алгебры З7 т = ст {?,, fe еП, ^<( = crfe, s</}, F>t = a{ls, s>/}, ^[s,n = = o{lu,
Далее, предположим, что для каждого sgT и каждого ieI на ст-алгебре определена вероятност-
ная мера Р5;Л:. Мы говорим, что набор элементов (It (w), PS,J является марковским семейством с переходной функцией Р(:, •, •, •), если при любых s, х
I) случайный процесс |f(w), /erf|[s, °°). на ве_ роятностном пространстве (Q, Ps, х)— марков-
189
ский с данной переходной функцией;
П) Ps,*& = *}=!¦
(5)
С учетом определения марковского процесса требование I) расшифровывается так: для s ^ и из Т, для любого х е X и Г из SS должно быть
р*. * г = />(/, ь, и, г) (6)
Р5 х- почти наверное. (Здесь берутся условные вероятности, соответствующие исходной вероятностной мере Р5 х на ст-алгебре ^~>s; соответственно мы должны пояснить, почти наверное относительно какой вероятностной меры имеет место равенство.) Требование II) в расшифровке не нуждается: оно означает, что вероятность Р5 Л. берется в предположении, что процесс в момент s выпускается из точки х (с этим связано также и то, что мы рассматриваем процесс только на значениях t ^ s и берем события только из ст-алгебры 5Г^^.
Формулу (6) можно записать в виде интегрального соотношения, вспоминая определение условных вероятностей относительно а-алгебры: для любого ^
Ps, X (А Л ег})= \ Р ('. Si (“>. «. Г) Ps, X (*¦>)•
А
В частности, если здесь в качестве А взять всё Q, положить t = s, а вместо и взять t, то получим
