Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что система всех таких множеств замкнута относительно сложения непересекающихся множеств, вычитания из множества его части и монотонного предельного перехода; она содержит все множества вида СХВ, где С — произвольное борелевское подмножество отрезка [0, /], а В — произвольное событие из Ft (для них выражение (2) равно Хс (s)Px(B), а последняя вероятность измерима по х как вероятность любого события из ^~>о). Поэтому ^ Э ц {С х fl: Ce$[0, (|, Befi) (см. § 8.2). Система множеств вида СХВ содержит всё [0, t] X ^ и замкнута относительно пересечения двух множеств: (Ci X В\) П (С2 X В2) = (С1 П C2)X(fli П В2), причем оба сомножителя принадлежат нужным ст-алгберам. По лемме 1 § 8.2 s& {СХВ: C^.%t[o,t\, В <= <^Ft}, что, по определению, есть ,t\ X@~t- Это доказывает микротеорему.
Марковское семейство (?*, Рх) называется строго марковским относительно семейства ст-алгебр Ft, если
а) случайный процесс gt прогрессивно измерим;
б) для любого марковского момента г; любой
функции г) = г) (со), принимающей значения из множества Г11{°°}, определенной на QT={'t<°°} и измеримой относительно ст-алгебры Fx\ любого хеХ и Г и любого события А ^ П г| < оо},
принадлежащего Fx,
Рх (А П {Et+T1 еГ})=$Р (Л, gt> Г) Рх (da). (3)
А
Интеграл имеет смысл, потому что функция Р(ц, |т, Г) измерима относительно Fx (а значит, и относительно F^o). Действительно, % и ц измеримы относительно F х\ функция ?* прогрессивно измерима, поэтому случайная величина измерима относительно STх на множестве {т С оо}; функция (rj, |т) со значениями в (ТХХ, 1гХ^) измерима относительно ST т; в силу доказанной микротеоремы функция P(t,x, Г) измерима относительно &т X 96, и результат подстановки в нее измеримой функции измерим.
Формулу (3), выражающую одну из форм строго марковского свойства, можно переписать в виде
РЛ&т+пеГ|0\}=Р(т), gTf Г) (4)
221
почти наверное (Р*) на множестве {х, г) < оо} (вне этого множества условная вероятность равна, естественно, нулю, потому что при т = оо или ^ = оо случайная величина |t+n не может принадлежать множеству Г, так как она просто не определена). Правая часть (4) измерима относительно 2Ft, интеграл от этой правой части по любому А е SFх, А <={т, г) < оо}, равен в силу (3) вероятности пересечения этого события с {gt+T1er}; это и означает, что выполнено (4).
Другие равносильные формы строго марковского свойства: для / еВ
МЛ/(^+„)1^] = р7(У (5)
почти наверное (Р*) на Qt f| ?2тГ>
\f(lx+r)Px(dm)=\p^f(lx)Px(d^ (6)
A A
для A^@~Xt A^{ t, rj < oo}; или, что то же,
MxXAf(tx+J = Mx%APr'f(txy, (7)
И т. д.
Строго марковское семейство является марковским относительно семейства а-алгебр SFt (см. п. 0). Это вытекает из того, что неслучайный момент t является марковским.
3. Микротеорема 2. Любая (однородная) цепь Маркова является автоматически строго марковской относительно семейства а-алгебр « = 0, 1, 2, ...
Доказательство. Требование а) выполнено, так как Т счетно, а цепь согласована с данным семейством а-алгебр; докажем, что выполнено (3). Имеем
Р,ИП{1т+чеГ}) =
/ оо оо \
= РД U U ЛП{т = т}П{ч = л}П{?т+в€=Г}). (8)
\ т = 0 п~0 /
Так как ц и Л измеримы относительно то пере-
сечение первых трех сомножителей измеримо относительно &~^т- Разбивая выражение (8) на счетное число слагаемых и применяя к (т,п)-му слагаемому простое марковское свойство относительно момента т, получаем
оо оо
П i p(n,tm,r)Px(d<*).
т~0 гс = 0 А(\{х — т, ч\=п}
222
Заменяя здесь в функции под знаком интеграла т на х, п на г] и собирая интегралы снова воедино, получаем правую часть (3).
Совершенно так же доказывается и
Микротеорема 3. Для произвольного марковского семейства и семейства а-алгебр строго марковское свойство (3) выполняется, во всяком случае, тогда, когда t и т| принимают не более чем счетное число значений.
Впоследствии мы докажем, что любое феллеровское марковское семейство с непрерывными справа траекториями является строго марковским относительно семейства сг-алгебр ^ t и даже, более того, SF<t + (не будем сейчас говорить о том, почему речь идет о непрерывности справа). В частности, это относится к винеровскому процессу.
4. Приведем примеры применения строго марковского свойства.
а) Пусть имеется дискретная цепь Маркова
f = 0,1,2, ... , с вероятностями перехода р(п,х,у), п = 0, 1, 2, ..., х, у^Х. Обозначим через f(n,x,y) вероятность того, что впервые при положительном t достигает у в момент п, вычисленную в предположении, что go = х, т. е.
/ (п, х, у) = Рх {?f ф у, 0 < t < п\ \п = у).
Тогда
р(п, х, y) = f(n, х, y) + f(n — 1, х, у)р( 1, у, у)+ ...
¦ ¦ • +/ (1, х, у)р(п — 1, у, у). (9)
