Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
is (“)> г) р.,
Q
Так как в силу (5) |s(co) = х почти наверное (Ps, х), то функция под знаком интеграла почти всюду равна P(s, х, t, Г). Значит,
Р.,Л^Г} = Я(5’^Г)- (у)
Можно рассмотреть семейство винеровских процессов, выходящих из всевозможных начальных точек,— марковское семейство (wt, Ps,х) с плотностью вероятностей перехода (в r-мерном случае)
p(s, х, t, y) = [2K((-s)rr,2e4y-x[m2{t-s)], т. е. с переходной функцией P{s, х, t, Г) = [2я(/ —s)]'~r'2 J e-\y-xnv«-^dy
г
190
(при s < t; при s = t, как и для любого марковского процесса, P(s, х, t, Г) = 6*(Г)).
Существование такого семейства (и даже с непрерывными траекториями) читатель легко докажет; но с этим и другими примерами можно подождать до § 8.2, где будут развиты соответствующие общие методы.
Термин цепь Маркова применяется не только к марковским процессам, но и к целым семействам.
5. Ту же идею о возможности выпустить марковский процесс из любой точки можно выразить по-другому. Можно рассмотреть семейство марковских процессов %st' х (ю), причем * (со) = х; зато вероятность Р в этомслучаеможно взять не зависящей от х (на такой концепции строится изложение в книге Ито (1963)). Оказывается, семейства такого рода можно свести к марковским семействам, но мы не будем на этом останавливаться. Мы еще коснемся этих вопросов, когда будем говорить
о стохастических уравнениях (§ 12.5).
§ 8.2. Различные формы марковского свойства. Конечномерные распределения
1. Свяжем определение марковского процесса с конечномерными распределениями.
Теорема 1. Для того чтобы случайный процесс |/, t ^Т, был марковским с данной переходной функцией Р(-, •, •, •), необходимо и достаточно, чтобы для любых < ... < tn из Т и любого множества С е 8Еп было
р{(к.......у-я-
dx‘)\ ¦¦¦
XX X
... \p(tn-1, Xn-U tn, dxn)xc(xI, ..., Xn) (1) x
{порядок интегрирования — с конца), где ц,—одномерное распределение, связанное с моментом времени t- ,iti (Л) = р {!,_<= 4
Для доказательства нам понадобится одно вспомогательное средство из теории множеств.
Назовем систему множеств si ц-системой, если она замкнута относительно сложения конечного числа непересекающихся множеств, вычитания из множества
191
его части и монотонного предельного перехода:
А, Ве^, АВ = 0 => A U В si; A, SEi, ЛзВ=>-=>A\Be^si; Ль 4 ••• Л s Л2 s ... =ф-
Всякая ст-алгебра является р-системой, но не всякая ^-система является ст-алгеброй: она может не содержать вместе с множествами Л и В множества А-В и A U В. Буква р в названии напоминает об основной операции, характерной для системы, — монотонном предельном переходе.
Так же, как для любой системы W подмножеств множества X доказывается существование наименьшей ст-алгебры в{&) подмножеств X, содержащей W,— так же доказывается и существование наименьшей ^-системы м(^), содержащей <g7. Из того, что любая ст-алгебра является ц-системой, вытекает pi(W)^o(W).
Лемма 1. Пусть система подмножеств некоторого множества X содержит X и замкнута относительно взятия пересечения пары множеств: А, Ве?^ Тогда ц((ё') = а((ё>).
Мы будем пользоваться этой леммой, не доказывая ее, потому что это доказательство, хотя и несложное, было бы совершенно лишним в этой книге (см. Халмош (1953); Дынкин (1959, лемма 1.1)).
Нам нужно прежде всего проверить, что п-кратный повторный интеграл (1) имеет смысл.
Лемма 2. Пусть для функции P(s, х, t, Г) выполнены условия 1), 2) § 8.1, fn(xi, ..., хп) — ограниченная 8?п-измеримая функция от х\, ..., хп е X. Тогда функция
8Бп~{-измерима.
Доказательство. Любую измеримую функцию можно представить в виде предела последовательности простых измеримых функций (линейных комбинаций индикаторов измеримых множеств), причем в случае ограниченной функции этот предел равномерен. Так как при равномерном предельном переходе интеграл предела равен пределу интегралов, а предел последовательности измеримых функций измерим, то до-
X
192
статочно доказать утверждение леммы только для простых функций. Далее, линейная комбинация измеримых функций измерима, и в силу линейности интеграла достаточно провести доказательство, в конце концов, для индикаторов:
\P(tn-u и tn, dxn)%c(x,, ..., хп). (3)
X
Обозначим через М- систему всех множеств С, для которых интеграл (3) ^"“'-измерим. Легко видеть, что — это ц-система: действительно, например, из Ci, С2 е si, Ci ^ С2 вытекает, что функция
\ Р (*„-Г Хп-Р *п> dXn) *С1\СЛХ 1’ ••••*») =
X
= SP(^-1- Хп->> *п’ dXn)XcXXl’ ¦¦¦’ Хп)-X
- Xn~l’ tn, dxn) %Cl (х1, .... Xn)
X
измерима. Далее, че-рез ^ обозначим систему всех множеств вида С = Ti X Г2 X • - - X Г„, Г,- е 86. Для таких множеств интеграл (3) равен %т (Xj) . . .
