Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
180
ным математическим ожиданием. Тогда почти наверное
lim (4)
Л-> оо
Доказательство. Достаточно доказать (4) только для неотрицательных случайных величин, ибо, если это выполняется для случайных величин |+ = = | V 0 и |- = (—|) V 0, оно выполняется и для g. Если то, согласно теореме 1, предел в (4) почти
наверное существует. Обозначим через г) случайную величину, равную этому пределу, если он существует и конечен, и нулю в противном случае. Эта случайная величина измерима относительно Э'ао', она интегрируема как предел равномерно интегрируемой последовательности случайных величин (см. введение); поэтому достаточно проверить, что
JgdP = $T,dP (5)
А А
для любого множества А е Достаточно доказать (5) для произвольного множества А из порождающей ЗГоо алгебры (J SFп. Для А е имеем
П
U<iP = ( lim M(g|3"ft)dP =
J J k -> oo
A A
= lim \ M(t\$-k)dP= lim UdP = UdP.
k-> OO j fe->oo J J
A A A
Здесь мы воспользовались равномерной интегрируемостью и тем, что /lefj, начиная с k = n, и интеграл от М(||^) равен интегралу от
Частный случай только что доказанной теоремы — соответствующее утверждение относительно условных вероятностей одного и того же события.
Задача 1. Пусть У1ЭУгЭ...з Я~ п э ... — невозрастающая последовательность ст-алгебр; обозначим через 9~ „ пересечение всех этих ст-алгебр. Пусть \ — случайная величина с
конечным математическим ожиданием. Докажите, что тогда
почти наверное
М(?|Уоо)= lim М(||У„).
П->°о
5. Еще одно применение теоремы о сходимости мартингалов — к плотностям мер — см. п. 2г) § 7.1,
181
а также в § 5.3. Так как последовательность ятп — неотрицательный мартингал, то с вероятностью 1 существует л = lim лт .
П-> ОО
Этот результат — некоторое ослабление и в то же время обобщение известной теоремы Лебега, согласно которой любая монотонная функция действительного переменного почти всюду дифференцируема. Действительно, пусть на отрезке [0, 11 задана неубывающая функция /; будем для простоты считать, что {— функция распределения. Дифференцируемость в точке х означает, что существует lim {f (z) — / (y))/(z — у). Из нашей кон-у ^х, zix
струкции мы выводим существование почти всюду не этого предела, a lim (/ (k/2n) 1)/2'1))/(1/2'1), где (fe — 1)/2" <
n-> Оо
<x^k/2". Для этого достаточно взять в качестве р. меру Лебега, в качестве р/— меру, соответствующую неубывающей функции /, а в качестве а-алгебр ST„— конечные алгебры, порождаемые полуинтервалами ((k—1) /2я, k/2n], k—l, 2".
6. Задача 2*. Пусть wt, t ^ О,— трехмерный винеровский процесс с непрерывными траекториями, выходящий из нуля. Докажите, что с вероятностью ] существует lim I w I = со и что
г-> оо 1 1
для любой точки х0 е R3 с вероятностью 1 процесс wt ни при каком значении t не попадет в х0 (при х0 = 0 — не вернется в нуль ни при каком положительном t).
Глава 8
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ
понятия
§ 8.1. Марковские процессы и марковские семейства
В теории марковских процессов используется терминология, заимствованная из физики: пространство, в котором принимает значения процесс, называется фазовым пространством (или пространством состояний), а его точки — состояниями. Мы будем предполагать, что фазовое пространство — измеримое пространство (X, 96), в котором все одноточечные множества измеримы.
1. Сначала определим, что такое переходная функция. Пусть имеется множество Т^Р1. Функция Р (s, х, t, Г), определенная для s,t^T, s^t, х(=Х, Tef, называется переходной функцией (марковской переходной функцией), если
1) при фиксированных s, х, t функция P(s,x,t,-) — вероятностная мера на а-алгебре 96 (вероятностная — т. е. Р (s, х, t, X) = 1);
2) при фиксированных s, t, Г функция измерима по х (относительно о-алгебры S&);
3) при s = t это — единичная мера, сосредоточенная в точке х: P(s, х, s,T) = 8x{T) (т. е. это мера,
равная единице, когда Гэ^, и нулю, когда Гф.х);
4) для любых s, t,u^T, s t ^ и, JtelHTef
P(s, х, и, Т)=^Р (s, х, t, dy) Р {t, у, и, Г).
х
Последнее равенство называется уравнением Чэпмена— Колмогорова. Это — самое сложное из условий 1)—4).
Прежде чем приводить примеры, рассмотрим частные случаи дискретной и абсолютно непрерывной пе-ходной функции. В дискретном случае для задания меры достаточно задать счетный набор чисел — меры всех одноточечных множеств. Поэтому переходная
183
функция определяется заданием матрицы вероятностей перехода (или переходной матрицы) Pst, зависящей от двух моментов времени s ^ t:
