Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
••• (*„_,) Я L> Г„) и измерим, зна-
чит, W^si. Отсюда вытекает, что si^\i(ff). Лемма 1 здесь применима, потому что Ч? содержит Хп и замкнуто относительно пересечений. Получаем si^. ^ (а(<ё’) = o(W) = 8вп, т. е. измеримость в (3) имеет место для всех множеств С е 86п.
Из леммы 2 по индукции вытекает, что правая часть (1) имеет смысл при любых t\ ^ 12 ^ ... ^ tn из Т, если только P(s, х, t, Г) удовлетворяет условиям 1), 2) § 8.1.
Легко видеть также, что из (1) вытекает: для любой ограниченной измеримой функции f(xi, ..., хп)
• • • , ^ (dxi) ^ Р (V х\> dx2) 5 • • •
л: л: х
•¦¦\р Уп-ь хп_и tn, dxn) f (хи хп). (4)
л:
7 А. Д. Вентцель
193
Теперь докажем, что из (1) вытекает: —• мар-
ковский процесс с данной переходной функцией.
Как мы уже говорили, P(t, %t, и, Г) измеримо относительно 5F^ t, так что требуется доказать только, что для всех Ле
Р (А П Ци е= Г}) = МХаР (t, It, и, Г). (5)
Проверим сначала это для событий вида А =
= ....4JeC}’
p{Gv-Ev УеСХГ} =
= Мхс(^, .... I,. w> г)- (6)
Здесь 11 < ... <1 tn^. и.
Лемма 3. Пусть функция P(s, х, t,T) удовлетворяет условиям 1)—3) § 8.1. Тогда из того, что (1) выполняется для всех t\ < t2 < ... < tn из Т, вытекает, что это равенство выполняется и для t\
< h ^ U.
Доказательство очень просто. Например, если U < h = h, то Р ?,з) е= С) = Р^, ?,а) <=?>},
где D — {(х 1, х2): (хи х2, л3)еС). Поэтому
р{&.. к.
= J |i(i (<Ц) J Р (tv xv t2, dx2) %D (xv x2) =
X X
= \vtXdXy)\P(! 1> XV lV dx2)Xc(XV X2> X2)-
X X
Тому же равен интеграл ^ (dx^ ^ Р (tv х{, t2, dx2) X
X X
X^P(t2, х2, t3, dx3)xc(xt, Х2, х3), потому что Р (*г, х2, /3, dx3) = Р (t2, х2, t2, dx3) = 6Х2 (dx3),
a J &х (dy) f (у) = / (*).
Теперь левая часть (6) выражается через (п + ])-мерное распределение, правая же — формулой (4) че-
194
рез п-мерное. Получаем, что левая часть равна
^ Мч, (^i) ^ Р (V хр ^2> dx2) 5 • ¦ ¦ хх х
' ' ' \ Р (?п-1> Хп-1> ^п> X
X
X\p{i, хп, и, dy) Xc(xv хп) хг (у)
X
(помним, что tn = t)\ правая — тому же, но с заменой интеграла ^ P(t, хп, и, dy)%T(y) на равную ему пере-*
ходную вероятность P(t, хп, и, Г).
2. Теперь выведем из определения марковского процесса с данной переходной функцией формулу для конечномерных распределений. v
Из определения стандартным способом немедленно вытекает, что для любой ограниченной измеримой функции / почти наверное
М(/(Б.) !*¦<,)=*&). (7)
где
*(*)=$ Р(/, X, и, dy)f(y). (8)
Лемма 4. Из определения марковского процесса с данной перехочной функцией вытекает, что для t\^. ... ^tn и люичй ограниченной измеримой функции f почти наверное
м№..........= <9>
где
gn (*i) = \ Р {tu Xh t2, dx2) ^ ...
X X
... ^ P (J n—11 xn_i, tn, dxn)f(x\, ..., x„). (Ю)
X
В частности, для любого С е с?п
P^t,...,lt^C\T^ = gn^, (11)
где функция gn задается формулой (10) с индикатором %с в качестве /.
7* 19 5
ДоказательствФормула (9) у нас уже имеется при п = 1; будем доказывать по индукции. Ясно, что на каждом этапе достаточно доказать (11), и (9) выводится отсюда стандартным образом.
Пусть утверждение доказано для п; докажем (11) с заменой п на п+1. Правая часть измерима относительно так что нужно доказать, что для любого
и Cef"+1
р(лп{(Ч>---Ч+1)-с}) = м«+1(Ч> <12>
где
gn+i (*i) = \р Uu хи /2, dx2) ^ . . .
X X
¦ * ¦ ^ P(tп-и хп—ь ^пу dxn) X
X
x\p{tn, хп, tn+l, dxn+l)Xc(xl.Xn+l). (13)
X
Обе части (12)—меры как функции от С; чтобы установить равенство двух мер на ст-алгебре i^n+1, достаточно установить их совпадение на полукольце, содержащем Xn+i и порождающем эту ст-алгебру. Таким полукольцом является система всех множеств вида С = Ti X ••• ХГПХ Г/1+i, ГНужно проверить, что
..., ^,еГл+1}) =
= МХл?„+1 (5,,). (14)
где ?п+1 задается формулой (13) с xc(xv хп+1) =
= Хг, (*i) ¦ • ¦ Хг„ (*„) ХГп+1 (*„+,)• Представляем событие в левой части (14) в виде пересечения события ЛП^еГ,, ..., g еГп|, принадлежащего 5Г<( , и
события еГп+|| и пользуемся формулой (5)
с tn вместо t и tn+l вместо и:
р(лп{Ч-г.........ЧеГ.}п{Ч+,еМ)=
== МхлХГ( ••• Хгп (^<п) Р (fn> hn’ K+v rn+i) =
= мхлм [хг_ (Ц) • • •
••• Хгл(Ч)р(/п’ К' /»+‘> r«+i)|5r<<1]=M^(^1).
