Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Р {sup f (It) > е} < sup М/ (У/е. (10)
|еГ (еГ
В частности, взяв функцию f(x) = (x — m)2, где
m = M?, (= const), получим для е>0
Р {sup | It — m | ^ e} ^ sup M (lt — m)2/e2. (11)
t <=T t<sT
Классическое неравенство Чебышёва дает лишь Р {I h — m I ^ е} < sup М (It - m)2/e2.
/е Т
Неравенство (11) сохраняется и для мартингалов с векторными значениями, но участвующую в нем дисперсию нужно тогда записывать как М | ?, — m |2. Другой частный случай неравенства (10) получим, взяв
175
f(x) — ecx, с > 0:
P {sup h K} sup Mec5,/ecK;
ief ier
еще другие — взяв /(x) = ec*, с <C 0, или f{x) = \x |:
P {sup | lt | > e}< sup M U* |/e,
t <= T t e=T
или f(x) = I jc tx, a > 1, в частности, x4, и т. д.
7. Задача 6. Воспользовавшись неравенством Колмогорова (10) с f(x) = ecxl1, с > 0, выведите как можно более точную оценку для Р { max | ws I б}, где Wt — винеоовский процесс, 0<s<* выходящий из нуля.
Закон повторного логарифма для винеровского процесса. Задача 7*. Пусть wt, 1^0, — выходящий из нуля винеровский процесс. Докажите, что для любого е > 0 с вероятностью 1 существует число Т такое, что | mt | < f8 {t) =
= (1 + е) д/21 In In t при t~^T.
Указание. Для Q > 1 рассмотрите счетное число событий Ап = {l wt\> при каком-то I е [0, Q"+1]}. Использовав
оценку задачи 6 и лемму Бореля - Кантелли и подобрав соответствующим образом Q, получите утверждение задачи.
Задача 8*. Докажите, что для любого е > 0 с вероятностью 1 существуют сколь угодно большие I такие, что \wt | >
> fB V) = (1 — е) У2/ In In i.
Указание. Рассмотрите счетное число независимых событий
вп = {I - VI >(Q“+1) +
Задачи 7*, 8* можно суммировать следующим образом: с вероятностью 1
lim | w, [Is/Zt In In t — 1.
f -> OO
Локальный закон повторного логарифма.
Задача 9*. Докажите, что с вероятностью 1
lim I w, \/^2i In | In Л =1. f *о1 11
t t
Задача 10*. Пусть = wt + ^ t|>s ds, i ^ 0, где ^ ds <
о о
< oo. Докажите, что с вероятностью 1
Пт I LI N^t In | In t | = 1. u'
176
Задача 11. Докажите следующий вариант неравенства Колмогорова: пусть to ^ t < /щах, — согласованный с семейством сг-алгебр случайный процесс, обладающий непрерывными хотя бы с одной стороны реализациями (в случае непрерывного времени), компенсатором и квадратичным компенсатором; пусть Тогда для любого е > О
м г<|, Dt - (|, i)t I2
n «* I с. <¦ | "ч. \ I. max о J
P{ sup 1 t~l, >e}<------------------------2-----------•
§ 7.4. Теорема о сходимости супермартингалов
1. Выведем еще одну оценку, относящуюся к мартингалам и супермартингалам. Пусть п= 1, ... ..., N,— супермартингал относительно семейства а-алгебр $Гп, причем все ^ 0. Рассмотрим положительные числа c<d и обозначим через v число пересечений последовательностью ..., полосы от с до d
Рис. 22
в направлении снизу вверх. (Так, для реализации, изображенной на рис. 22, значение v равно 2.) Докажем, что
Mv<Ml!/(d-c). (1)
Для доказательства продолжим данный нам супермартингал, положив = In, STn+\~SFn\ от этого он не перестанет быть супермартингалом. Определим марковские моменты oi, ti, а2, т2, . - - следующим образом. Положим а 1 равным наименьшему из тех п от 1 до N, для которых ^ с; если таких п нет, положим о\ = N -f- 1- Далее, т, определим как наименьшее из тех п от а, -f- 1 ДО N, для которых ^ d; если таких п нет, х\ = N-\- 1. Затем а2 определяется как min{tt>-Ti: In ^ с} или как iV-f-1, если таких п нет; тг так же определяется через сг2, как Ti через сть и т. д. Ясно, что = т* = TV + 1 при 2k>N. На рис. 22 0-1=6, -л = 10, о-2=12, т2 = 16, (Т3=18, т3 и все
177
следующие за ним равны N + 1 = 22. То, что это всё марковские моменты, мы уже доказывали (см. задачу 2 § 6.1). С величиной v они связаны следующим образом: событие {v ^ к) равносильно {т*гс:/У}.
Докажем, что Р {т, N} Mljd, Р {xk^.N}^. ^ Р{т*_1 ^ N}-c/d. Воспользовавшись определением условных вероятностей, можно написать
N
р {4<N) = Yj Р({°* = "}П{^<^}) =
п = 1
N
= Z S P{tft<yV|^„}P(rfcD). (2)
п = \ {Ok=n)
Чебышёвское неравенство дает нам почти наверное Р К < N | !ГЯ) < Р > d | <F„} < М | Tnyd. (3)
На множестве {а* = л} случайная величина т* больше л; отсюда на этом множестве = L. и услов-