Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
k к*
ное математическое ожидание в (3) почти наверное равно М v „ | (последнее неравенство — по
результатам предыдущего параграфа в применении к супермартингалам). На множестве интегрирования в (2) ^ с; поэтому
Р {т* < N) < Р {<т* < N} ¦ c/d < Р {т*_, < N} ¦ c/d.
Что же касается P^^iV}, то эта вероятность не превосходит М?х /d
Итак, Р {v ^ k) (c/d)k~l M^Jd, откуда
оо оо
Mv = ? Р {v > k) < ? (c/rf)A“! M|,/d = MW - с).
k=i k=\
2. Посмотрим, какие следствия из этого можно вывести.
Теорема 1. Пусть — неотрицательный супермартингал на счетном подмножестве Т числовой оси относительно семейства а-алгебр SFt, t^T\ sup М?*<
t^T
< оо. Тогда с вероятностью 1 выборочная функция имеет конечные пределы слева и справа во всех предельных точках множества Т (в том числе и в предельных точках, не принадлежащих Т).
178
В частности, если Т имеет своей предельной точкой + °°. существует lim h, а если —оо, то суще-
оо
ствует lim
t -> — оо
Доказательство. Для функции f{t), определенной на бесконечном подмножестве Т числовой оси, можно определить число пересечений полосы от с до d в направлении снизу вверх как верхнюю грань тех k, для которых существуют точки s, < ti <С s2 •< ...
... < tk-1 < sk •< tk из множества T такие, что f(ti)^d. Разумеется, число пересечений полосы может быть равно нулю или бесконечности.
Если мы определим число пересечений v полосы от с до d для функции %t, то это будет функция от со (пока мы не можем сказать, что это случайная величина).
Занумеруем каким-нибудь образом все точки нашего счетного множества Т: tu t2, ..., tn, ... Обозначим через vn число пересечений снизу вверх полосы от с до d функцией ?*, определенной лишь на конечном множестве {/ь ..., tn}. Легко понять, что v при любом со — предел монотонно возрастающих к нему vn. Так как vn — случайные величины, причем для них выполнена оценка
Mv„ < M?min (/|..tJ{d — с) (0 < с < d),
то и v — случайная величина, и ее математическое ожидание удовлетворяет неравенству
Mv < sup Мh/(d — с).
t е Т
Во всяком случае, v с вероятностью 1 конечно. Взяв все интервалы (с, d) с положительными рациональными концами (а их счетное множество), получаем, что с вероятностью 1 выборочная функция пересекает снизу вверх любой интервал с рациональными концами только конечное число раз. Отсюда вытекает, что функция |/(оо) не может совершать бесконечное число колебаний, и она должна иметь конечные или бесконечные односторонние пределы. Остается доказать, что с вероятностью 1 бесконечные пределы исключаются. Для того чтобы где-то был бесконечный предел, нужно, чтобы было хотя бы одно пересечение снизу вверх бесконечного числа из интер-
179
валов (1,2), (2,4), ..., (2", 2n+l), ... Из оценки
Р {v ^ 1} sup Mlt/d вытекает, что сумма ВерОЯТНО-fer
стей сходится, и по лемме Бореля — Кантелли получаем, что с вероятностью 1 невозможно, чтобы осуществилось бесконечное число пересечений.
Это рассуждение не годится в наименьшей предельной точке Т, если она не принадлежит Т, так как для наличия бесконечного предела в этой точке нет необходимости в пересечении какой-либо полосы в направлении снизу вверх. Чтобы сделать его годным, дополним множество Т элементом —оо, по определению меньшим всех элементов Т, положим = sup M|f,
°° 1еГ
—{0, ?2}s при любом t\ |f остается супермартингалом и для —оо} (J Т, и к нему мы уже можем применить наше рассуждение: для бесконечного предела в наименьшей предельной точке нужно, чтобы |f, t е {—оо} (J Т, пересекло снизу вверх любую полосу (с, d), с ^ |_оо.
Разумеется, теорема относится и к неотрицательным мартингалам.
Аналогичная теорема выполняется и для субмартингалов, но в ее доказательстве используются пересечения сверху вниз (см. Гихман и Скороход. Теория случайных процессов. Т. 1.— М.: Наука, 1971, гл. II, § 2).
Условие неотрицательности в теореме отбросить нельзя; пример — винероЕский процесс.
3. Доказанную теорему мы можем перенести и на несчетное множество Т — для случайных функций с реализациями, непрерывными справа (или слева); утверждается существование с вероятностью 1 конечных пределов слева (справа) в каждой точке, на +оо и на —оо (если имеет смысл о них говорить). Другой вариант перенесения теоремы на несчетное Т: для стохастически непрерывного супермартингала существует стохастически эквивалентный ему с реализациями, непрерывными справа и имеющимиконечныйпредел слева в каждой точке (и на + оо).
4. В качестве приложения докажем теорему — вариант «в узком смысле» задачи 1 § 3.3.
Теорема 2. Пусть ... ...
... — неубывающая последовательность а-алгебр\
обозначим через @~<х, наименьшую а-алгебру, содержащую все 5Гп. Пусть | — случайная величина с конеч-
