Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8.4. Однородные марковские семейства
1. Переходная функция P(s, х, t,T) называется однородной (по времени), если она определена для s.te=T = Rl, R+ (=[0,оо)), Z1 ( = {... , -1, 0, 1,
2, ...}) или Z+ ( = {0,1,2, ...}) и если она не меняется при сдвиге вдоль временной оси: P(s-\-h, х, t-\-h, T) = P(s, х, t, Г). Такая переходная функция зависит только от разности t — s {^R+ или Z+): можно ввести такую функцию P(t, х, Г) от трех аргументов, что будет выполнимо равенство P(s,x,t, Г) = ~P(t — s, х, Г). Условия, которым должна удовлетворять функция P(t, х, Г) (для процессов с непрерывным временем ^ е [0, сю), для цепей Маркова t — целое неотрицательное; х^Х, ref),— следующие:
1) P(t, х, •)—вероятностная мера на (X, 8в)\
2) измеримость по х;
3) Р (0, х, Г) = 8* (Г);
4) уравнение Чэпмена — Колмогорова: для s, t ^0
P(t + s, х, Г) =$/>(*, х, dy)P(s, у, Г). х
213
Значение P(t,x, Г) называется вероятностью перехода из состояния х за время t в множество Г. В случае дискретного времени говорят также: за t шагов.
Большинство рассмотренных ранее переходных функций были однородными; но, например, переходная функция процесса задачи 2 § 8.1 — неоднородная.
2. Однородным переходным функциям ставятся в соответствие семейства операторов, зависящие от одного параметра:
р<[(х) = \р({, dy)f(y),
X
•vP' (Г) = J V (dx) Р (t, X, Г),
X
где /е[0, оо) для процессов с непрерывным временем, t = 0,1,2, ... для цепей. Операторы Pst выражаются через операторы этих однопараметрических семейств так: Psl = Pl~s. Свойства операторов Psl превращаются в следующие:
а) Р‘ — линейные операторы на соответствующем банаховом пространстве;
б), в) это сжимающие и сохраняющие положительность операторы;
г) Р*\ = 1, vP‘(X) = v(X)]
д) Р° = Е;
е) =
Обозначение Р‘ внешне совпадает с обозначением степени оператора, и с этим хорошо согласуются свойства д), е); для дискретного времени операторы Р‘ действительно являются степенями одного оператора Р = Р1. Но для непрерывного t это уже не так.
Свойство е) показывает, в частности, что операторы данного семейства можно умножать друг на друга. Как мы знаем, умножение операторов ассоциативно; значит, семейство операторов, связанных с однородной марковской переходной функцией, образует полугруппу.
Эта полугруппа является гомоморфным образом полугруппы неотрицательных чисел по сложению (для цепей Маркова — неотрицательных целых чисел), поэтому ее полный титул — однопараметрическая полугруппа операторов.
214
Свойства д), е) можно сформулировать так: Р‘ — однопараметрическая полугруппа, содержащая единичный оператор (если полугруппа содержит единичный оператор не на нулевом «месте»: Р‘ = Е, t=^= О, то Е = Р‘ = Р°+‘ = аБ = Р°Е = Р°, т. е. и Р° — Е). В дальнейшем вместо однопараметрическая полугруппа операторов, содержащая единичный оператор, мы будем говорить коротко: полугруппа.
Дискретные полугруппы (^=0, 1, 2, ...) полностью определяются заданием оператора Р1 (или, что то же, вероятностей перехода за один шаг Р(1,х, Г)); полугруппы с непрерывным параметром по понятным причинам так просто задавать нельзя. Однако ясно, что для того, чтобы задать Р‘ при всех t ^ 0, достаточно задать Р‘ только в сколь угодно малом отрезке [0, h] вблизи нуля: Р‘ на отрезке [h, 2h] определится как phpt-h' и т д Оказывается, при некоторых условиях регулярности можно ввести инфинитезимальные, дифференциальные характеристики полугруппы, которые, описывая ее предельное поведение вблизи нуля, позволяют однозначно восстановить всю полугруппу.
Теория полугрупп операторов — весьма развитая область функционального анализа (см. книги:
Э. Хилле. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: ИЛ, 1951; Э. Хилле и Р. Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962;
К. И ос и да. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967), и она успешно применяется к теории марковских процессов.
3. До сих пор мы говорили только о переходных функциях и связанных с ними операторах; обратимся к марковским семействам с однородной переходной функцией. Если выполнены условия, при которых можно определить операторы сдвига 8h, 0^' (существование для любой траектории |/(со) и любого h^T траектории (со+) = |/+/j(o)); см. § 3.2), то из формулы для конечномерных распределений марковского семейства (§ 8.2, формула (15)) вытекает, что для любого
Р5,Ле5^5) = Р0,Л5). (1)
Действительно, обе части — меры как функции В, и они совпадают на а-алгебре 0, так как совпадают для множеств вида В = ||( (= Г,, ..., |( <= Гп|, 0 ^
215
г„ ...,г„е=аг:
Р*. х {^s + ft е ^1> • • • > БS+tn S Г„| ==
= Ро„{ЧеГ.’---’ЧеЧ-
Задача 1. Докажите, что любое событие /1е может быть представлено в виде А = в$1В, fief >о-
Таким образом, вероятности Р5 ^ однозначно определяются вероятностями Р0 *, и все можно свести к семейству мер Р* = Ро, х> зависящему только от одного параметра хе! Это делает понятным следующее определение.
