Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вентцель А.Д. -> "Курс теории случайных процессов " -> 86

Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов — М.: Наука, 1996. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriisluchaynihprocessov1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 146 >> Следующая


Задача 3*. Пусть wt, t ^ О,— одномерный винеровский процесс, выходящий из нуля; обозначим через. ха момент первого достижения процессом точки а. Докажите, что т„, а ^3= 0,— процесс с независимыми приращениями. Найдите соответствующую характеристическую функцию.

§ 8.6. Стационарные марковские процессы

1. Найдем условия, при которых марковский процесс будет стационарным.

Прежде всего, ясно, что стационарные марковские процессы могут обладать только однородными переходными функциями (ведь стационарность — это однородность по времени).

Далее, введем определение.

Инвариантной мерой, соответствующей однородной переходной функции (или инвариантной мерой однородного марковского семейства), называется мера ц

229
на фазовом пространстве (X, 36), удовлетворяющая условию

^ (Г) = J и (dx) Р (I, *, Г), f>0, Ге^. (1)

а:

Можно рассматривать как конечные инвариантные меры, так и меры, принимающие также значение +оо. Для конечной меры условие (1) в наших обозначениях (см. § 8.3) запишется так:

ц = цР*, t>0.

Вероятностную инвариантную меру (т. е. р, = рР?, ц(Х) = 1) называют также стационарным распределением марковского семейства.

Примеры инвариантных мер предлагается получить, решив следующие задачи.

Задача 1. Существуют ли конечные инвариантные меры для семейства винеровских процессов? Докажите, что мера Лебега— инвариантная мера для этого семейства.

Задача 2. Найдите все инвариантные меры, соответствующие матрице вероятностей перехода задачи 1 § 8.1.

Задача 3. Приведите пример марковского семейства с двумя не пропорциональными друг другу конечными инвариантными мерами. '

2. Микротеорема. Пусть teT( — R', R+, Z* или

Z+), — стационарный марковский процесс. Тогда любое одномерное распределение |Х( этого процесса—некоторая инвариантная мера (одна и та же для всех t):

(П = Р {Е( е Г} = ц (Г), (2)

где ц = цР*.

Обратно, если ji — вероятностная инвариантная мера для переходной функции P(t, х, Г) и если фазовое пространство — борелевское, то существует стационарный марковский процесс с данной переходной функцией, такой, что выполнено (2).

Доказательство первой части тривиально. Для доказательства существования марковского процесса, удовлетворяющего (2) и имеющего данную переходную функцию, пользуемся теоремой 6 § 8.2; его стационарность следует из формулы (1) того же параграфа (при этом мы полагаем P(s, х, t, Г) = = P(t — s, х, Г)).

Доказанная микротеорема позволяет строить примеры стационарных марковских процессов.

Задача 4. Найти все одномерные стационарные гауссовские марковские процессы, непрерывные в среднем (т. е. скажем, найти корреляционные функции всех таких процессов).
Глава 9

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИИ.

СТРОГО МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО

§ 9.1. Свойства траекторий

1. В этом параграфе мы укажем некоторые условия на переходную функцию, при которых существует марковское семейство с непрерывными или непрерывными справа траекториями, обладающее данной переходной функцией. Условия такого рода выводились нами для произвольных процессов (теорема Колмогорова) ; но, конечно, к большему числу марковских процессов могут быть применены условия, специально для них предназначенные.

Пусть X — полное метрическое пространство; введем обозначения: Ue(x)={y: р(х, у) <С г}—е-окрест-ность точки х, Уц(х) = {у: р(х,у)^г}—ее дополнение. Пусть на фазовом пространстве (X, 8в) = (Х, &х) задана переходная функция P(t, х, Г), ^е[0, оо). Положим

аЕ(Л) = sup P(t, х, Ve(x)).

леХ, t

Теорема 1 (теорема Дынкина — Кинни). Пусть ae(h) = o(h) при 0 для любого положительного г. Тогда существует марковское семейство с данной переходной функцией, все траектории которого непрерывны.

Доказательство проведем, пользуясь теоремой 1 § 5.2. (Можно было бы воспользоваться приемом построения процесса, стохастически эквивалентного данному, непрерывным продолжением со счетного всюду плотного множества Т0 с: [0, оо); но тогда возникли бы некоторые трудности с требованием возможности ввести операторы сдвига (§ 8.4, п. 3): ведь никакое счетное Т0 не инвариантно относительно сдвигов на любое Ле[0, оо).) Возьмем в качестве X множество С всех непрерывных функций на [0, оо) со зна-чеиями в X. Пусть (|/, Р*) — марковское семейство

231
с данной переходной функцией. Мы докажем, что из С^Л, Ле й?10' “> вытекает Рх {?,. еЛ} = 1 при любом х. Тогда мы сможем взять в качестве пространства элементарных событий множество С, на нем а-ал-гебру 5F', состоящую из множеств вида С [}В, Be е $?[0’ со), и при каждом х определить вероятность Р' на такую, что процесс %(*.) = xt будет

иметь те же конечномерные распределения, что Получим марковское семейство (%'t, Р') с данной переходной функцией; траекториями будут все непрерывные функции и только они. Нужно еще проверить, что определены операторы сдвига; но это вытекает из того, что сдвиг любой непрерывной функции непрерывен.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 146 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed