Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Инфинитезимальный оператор определяется для любых полугрупп (также и групп) линейных операторов в банаховом пространстве, независимо от того, связаны они с марковскими процессами или нет.
Пусть в банаховом пространстве Е задана полугруппа ограниченных линейных операторов Р1, 0 ^ ^ t <С оо, Р° = Е.
В отличие от операторов Р‘, инфинитезимальный оператор (мы будем обозначать его А) будет определен, вообще говоря, не всюду на Е, а только на некотором его подмножестве Da, и это не будет ограниченный линейный оператор. По определению f^DA, если существует lim/-1(P^ — f) в смысле сходимости
по норме; этот предел и есть по определению значение оператора А на элементе f:
Af = lim r'iP'f-f).
t'tf 0
Иначе говоря, Af— правая производная от Pff в нуле: = 1<=о-
240
Разумеется, область определения A, Da— линейное подпространство (хотя, вообще говоря, незамкнутое), а А—линейный оператор.
2. Рассмотрим примеры (связанные с марковскими процессами). Инфинитезимальный оператор полугруппы P*f, связанной с марковским семейством, будем называть инфинитезимальным оператором марковского семейства.
Если вспомнить, какую норму мы рассматриваем в пространстве В, определение Af можно переписать в виде
Af (х) = lim Г1 (Plf (х) — f (х)) = lim Г1 (М J (Ы — f (х)), t + o (¦И
причем f принадлежит области определения DA, если этот предел равномерен по х.
а) С детерминированным процессом движения вправо с единичной скоростью на прямой связана полугруппа сдвигов: Р'Пх) —f(x + t). Имеем
Af(x)= lim/-1 (f(x + t)-f (*))=AX(?L. (1)
ax
Однако не нужно забывать, что это правая производная должна существовать равномерно по х.
Задача I. Из того, что предел (1) существует равномерно по х, вытекает равномерная непрерывность функции /. Докажите.
Более того, функции + 0—f(x)), стало быть, тоже
ограничены и равномерно непрерывны, а значит, и их равномерен*)
ныи предел ----^— ограничен и равномерно непрерывен. От-
сюда вытекает, что функция f дифференцируема не только справа, но и слева.
Окончательно получаем, что Da состоит из тех и только тех функций f, которые ограничены и равномерно непрерывны вместе с первой производной: feCраВН, и А}(х) для них равно /'(х).
б) Рассмотрим еще один детерминированный процесс — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений dxt
¦ jj ¦= Ь (х^) в r-мерном пространстве. Не будем здесь находить
в точности область Da определения инфинитезимального оператора: заранее ограничимся непрерывно дифференцируемыми финитными функциями (f е Сф*,н). Для таких функций при 11 О
f (xt (*)) = f (x+b (x) t+o (0) =f(x) + Yj ~?r M b* W 1 + ° W
равномерно по x, так что /e и Af (x) = I
i = l dx
241
в) Задача 2. Найдите инфинитезимальный оператор (матрицу) для полугруппы задачи 1 § 8.1.
г) Для марковского семейства со счетным множеством со-
стояний с траекториями, непрерывными справа, существуют k(i) <= [0, оо), jiij такие, что Р, (т (/)</, ?т(1) =/} =
= [l—ё~я(.^ (см. задачи 4, 6* § 9.2). По ним можно построить (бесконечную в случае бесконечного счетного фазового пространства) матрицу (а,,): щ/ = Я((')я;/ при j ф i, аи = —Я(г). Если sup к (г) < оо, то Da совпадает со всем В (пространством
ограниченных последовательностей), и инфинитезимальный оператор задается матрицей (а,/):
Af (i) = ? a{jf (/) (2)
(докажите).
Если sup X (i) = оо, то сумма (2) для некоторых f е В не-
i
ограничена. В случае ограниченности k(i) (или, что то же, а;,) можно доказать, что данной матрице соответствует единственное марковское семейство (единственное в смысле конечномерных распределений). В случае неограниченных а,-/ и это может быть не так. Это будет для тех марковских семейств, которые могут за конечное время совершить бесконечное число перескоков из состояния в состояние, проходя через бесконечное число различных состояний (непрерывность справа этому не препятствует). Связано это с тем, что матрица (а;,) определяет поведение цепи при перескоках из состояния в состояния (?/- = i, ?/ = !(+=/), а информация о том, что с ней делается после «ухода на бесконечность» (когда не существует), в матрице (а,-,) не содержится.
Задача 3*. Приведите пример двух марковских семейств со счетным множеством состояний с разными конечномерными распределениями, с одной и той же матрицей (я,-,-): ац = —;2, «г. 1 + 1 = [2 (остальные нули).
Д) 3 а д а ч а 4*. Для полугруппы, связанной с r-мерным ви-неровским процессом, докажите, что множество С^в„ всех функций f, ограниченных и равномерно непрерывных вместе с производными первых двух порядков, содержится в Da, и для таких
функций Af = — Af (А—оператор Лапласа).
е) Задача 5*. Докажите, что для семейства процессов Коши, т. е. для марковского семейства с переходными плотностями p(t, х, у) = я-,//(/2+ (у — х)2), инфинитезимальный оператор определен на всех функциях из Сра*Вн (но не только на них), и для f €= С<2а>вн
