Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
oo
<|> = J В J e-<aw'c40 ( Y") cos IOt dio =
и
= В[((а - let)2 + PYy' + ((a + let)2+ рТ1'1]. (7.67) Г равитационные волны
131
При интегрировании (7.62) и (7.63) получим
7 B2 {а~2 —р2[(а — let)'2-+-P2]"2-р2 [(а +W)2 + р2]-2—
— а'2 (с2/2 -fa2 — р2) [с V4 + 2с2/2 (а2 — р2) + (а2 -f- р2)2]''').
(7.68)
Из уравнения (7.67) следует, что при отрицательных значениях t „импульс" сходится в направлении к оси z. Он вновь расходится от нее при положительных значениях t. Таким образом, мы имеем „симметричное во времени" решение уравнений Эйнштейна.
,Для вычисления „плотности энергии" воспользуемся выражением (6.32)
V=^V - [- 2** ^Ч^Г1], / (7'69)
При использовании (7.59) и (6.39) непосредственное вычисление дает
d(s>Qy—g)
dg00, о
О,
(7.70)
dI^vED s _ і ,u - ( -и aJ* , „33 dJ»\ JL
dg00,, 2 g gooKg dx^g дхЧ* g Ібг.сҐ
Отсюда (7.69) в случае х0° S принимает вид
Результат (7.71) справедлив для любой метрики вида (7.59) вне зависимости от наличия или отсутствия негравитациои-ной энергии. Обращение в нуль плотности энергии повсюду [уравнение (7.71)] подтверждается также, если для T^v использовать выражения Ландау и Лифшица (6.58) и (6.60) [12]. Использование тензора Мёллера — Мицкевича (6.62) и (6.65) приводит к до некоторой степени аналогичному результату. В случае метрики (7.59) непосредственное вычисление дает
V+^(1)1,- <"2>
9* 132
Глава (і
Хотя это выражение и не равно тождественно нулю, однако интегральная величина энергии на единицу длины вдоль оси
/V У=-,*+
(7.73)
для (7.67) и (7.68) обращается в нуль. Для волнового решения в виде импульса величина (7.72) в некоторых местах положительна, а в других — отрицательна. Отметим, что импульс (7.67) и (7.68) при / = O описывает пространство, асимптотически плоское при больших р, но не являющееся „евклидовым", так как, согласно (7.68), па больших расстояниях выполняется 7 В2а~2. Поэтому для больших значений р при / = O метрика будет „конической".
Недавно Розен [13] вычислил т0" и T01 для цилиндрических решений в „декартовой" системе координат и обнаружил, что эти величины конечны и имеют смысл. Iiro вывод не противоречит заключению МОллера о величине плотности энергии, так как для перехода от цилиндрической системы к декартовым координатам Розена, по-видимому, необходимо преобразование, включающее время. Величина же Мёллера является единственной, инвариантной при чисто пространственных преобразованиях. В цилиндрической системе координат нельзя гарантировать, что „энергия" всегда будет положительно определенной. Если допустить для псе отрицательные значения, то обращение в пуль т(|° может означать толі,ко, что поглощение энергии такой полны делает энергию этой волны отрицательной. Нижняя граница этой энергии гарантировала бы тогда устойчивость.
9. Взаимодействие частицы с цилиндрическими
гравитационными волнами
Вычисление компонент тензора Римана для метрики (7.59) показывает, что в случае цилиндрических волн не все эти компоненты равны нулю, так что такие полны должны быть реальными. В этом разделе, анализируя движение первоначально покоившейся частиш.і, взаимодействующей с цилиндрическим импульсом, мы покажем, что цилиндрические волны несут энергию. Запишем уравнение геодезической для координаты р I риоатационные волны
133
и будем его последовательно интегрировать, рассматривая ф как величину первого, а 7 — как величину второго порядка. Пусть
P = P(O)+ P(I)+ Р.2,+ ••• • (7-74)
Из метрики (7.59) следует, что
C^i=I +-ф-7+f J-(^f)I+... (7.75)
Эти соотношения приводят к уравнению
^SFl = c2W = - ![(« - + Р(о,2Р +
+-[(в + ^)2+Р(о,Т,/'} (7'76>
для первого порядка и к уравнению
J ^ JHiLl^ \ _(д1\ П77,
с'2 dP - с* dt \df),,i0) \rWP(0, Р<" W h(0) ('-">
для второго порядка. Получая эти уравнения, мы принимали во внимание соотношение
Интегрирование (7.76) с граничным условием dp/dt = 0 при t ~ — оо дает
¦ іct a -jT ict
[(a-icty + Pt0jeI''- I («+/с/)2 + P1012]72
. (7.78)
dt Р(о)
Изменение р при переходе от ! — - оо к / = О можно выразить как
о t'
Лр -If (-*)аґ dt=fr[(P(u)2+a^ ~а] 2В (7-79)
— tjG — UO
для больших р. Величина расстояния от оси при / = O и больших р равна
Po1 До 2
. J dp = J е + т-* dp « р(0) + 20-2Я In -A0I. (7.80) 132
Глава (і
Полученные выражения (7.78) — (7.80) с точностью до первого порядка показывают, что первоначально покоившаяся частица в момент встречи с волной приходит в движение. Изменение координаты о к моменту максимального схождения волны равно -f- 2/i, однако изменение расстояния в этот момент составляет 2В— 2В In ^pnJa). По мере обратного расхождения нашей волны эти движения повторяются в обрат-пом порядке (в данном приближении), так что при / = --)-!>э частица вновь оказывается в состоянии покоя па своем прежнем месте. Однако можно представить себе случай, когда наша частица связана с другой частицей, расположенной вдали от нее, при помощи некоторого механизма, приводящего к необратимости 1J. Тогда их относительное движение приведет к поглощению энергии волны даже в первом приближении.
