Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь вкратце рассмотрим связь сохраняющихся величин с бесконечно малыми преобразованиями координат, следуя Бергмапну [12]. Пусть бесконечно малое преобразование имеет вид
д;'11 = Xli -U- SX11-. (6.67)
Величина M9, определяемая равенством
Л1?-=(8*'г/»).ч. (6-68)
удовлетворяет закону Mpi — 0. Ввиду произвольности Bxn ясно, что из (6.68) следует бесконечное множество такого рода законов. Выбирая в качестве Sx11 набор констант, получаем эйнштейновскую формулировку задачи. Полагая g"? k^ g , где А, — набор постоянных, придем к выражениям, полученным Ландау и Лифшиием. Законы сохранении момента импульса можно получить, используя
Sx7 - {g'? хт - gV x*)j,t YziJ. (6.69)
') В своей последней работе [9] .Мёллер показал, что все выведенные ранее „псепдотепзоры" не удовлетворяют разумно сформулированным требованиям и, более того, что из метрического тензора и его первых и вторых производных вообще невозможно построить „комплекс" с желаемыми свойствами. Следует, однако, заметить, что при дополнительном введении нового симметричного тензора второго ранга е^., можно удовлетворить всем требованиям Мёллера (см. [10]; там же дан полный анализ трансформационных свойств квазитензоров энергии — импульса и спина). Новый квазитензор переходит в псендотензор Эйнштейна в квазндекартовых координатах; кроме того, он удовлетворяет требованиям хронометрической инвариантности Зсльмапова (см. формулировку этих требований [11]). — Прим. ред.
8 Дж Вебер 14
Глава (і
где J?— снова набор постоянных. Очевидно, что в (6.68) можно использовать любое векторное поле.
Комар [13] указал способ построения семейств законов сохранения в тензорной форме. Исходя из результата Мёллера, он записал
Df V=T = (8*" U $ + Sxa V Wt ? =
= I Жй Ьх? ^ St' Gr3,.. SV .) V=T](, • (6.70)
Добавление к (6.70) роторного поля
^p Vх =T - {8?- Г f(^TiX, .? - (»*•), р «g V~l)t л
(6.71)
дает
Из (3.75) видно, что (6.72) сохраняется; к тому же эта величина обладает тензорными свойствами. Анализ соотношений (6.70) и (6.71) показывает, что результат Мёллера получается из (6.72) при 8д;'=^80'.
3. Дальнейшие замечания о законах сохранения
Из изложенного ясно, что в тех случаях, когда энергия вещества и пегравнтационных полей в достаточной мере локализована, так что па больших расстояниях можно использовать „лоренцову" метрику (6.46), величина полной энергии оказывается вполне определенной и может быть вычислена с помощью приведенных здесь выражений. Предложенный Мёллером псевдотепзор пе требует использования метрики (6.46), и его нуль-нуль компонента сохраняет одно и то же значение во всех координатных системах, временные координаты которых совпадают. Величина же, полученная Ландау и Лифшицем, обладает свойством симметрии.
Можно сконструировать множество других псевдотензоров
энергии......импульса-натяжений, и Дирак отметил возможные
преимущества некоторых из них при решении уравнений движения. Ниже будут приведены другие выражения, вытекаю- Законы сохранения
115
щие из анализа проблемы излучения. В главе, посвященной излучению, мы отметим также некоторые другие трудности, приводящие к выводу, что проблема энергии в общей теории относительности не получила еще вполне удовлетворительного решения.
Вергмаин различает законы сохранения, выполняющиеся тождественно, и законы, справедливые лишь при условиях, в которых удовлетворяются уравнения поля. Такие тождества, например тождества Бпанки пли тождества U'~ia =0 носят название „сильных" законов. Соотношения же, справедливые лишь при удовлетворении уравнений поля, называют „слабыми" законами.
Любопытно отметить существование тензора четвертого ранга, величины полностью симметричной, найденной Ведем [14]. Для его построения нам прежде всего понадобится ввести понятие дуального тензора. Если задан некоторый тензор Л1", то дуальный ему тензор можно получи п. но правилу
= (6.73)
где —уже знакомая нам тензорная плотность Леви-Чи-вита. Тензор, дуальный тензору Римана, равен
X3t5-s^v (6.74) Построенный из этих величин тензор Веля
T.W - «.,Ы + X1^ */?Л (6.75) удовлетворяет соотношениям
= 0 (6.76)
и
= 0, (6.77)
коль скоро величина R удовлетворяет уравнениям поля Эти свойства тензора Беля были установлены Робинсоном в еще не опубликованной работе.
Тензор Ttt3r8, кроме того, симметричен по всем индексам. Закон „сохранения" (6.76) непригоден для получения ранее
R* 116
Глава (і
использовавшихся трехмерных интегралов. В настоящее время тензор Веля исследуется с целью выяснения полезности его свойств при рассмотрении проблемы гравитационного излучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Einstein А„ Berl. Ber., 42, 1111 (1916).
2. Bergmann Р. О., Phys. Rev., 75, 680 (1949).
3. Bergmann Р. О., Schiller R., Phys. Rev., 89, 4 (1953).
4. Bergmann P. 0., Thomson R., Phys. Rev., 89, 400 (1953).
5. Goldberg J. N., Phys. Rev., Ill, 315 (1958).
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. M., Теория ноля, Физматгиз,
1960, стр. 351.
7. von Freud P., Ann. d. Math., 40, 417 (1939).
