Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и ..„,W" = 0. Такое поле называется нулевым. Исследование электромагнитного тензора энергии показывает, что если поле является нулевым, то T114 имеет единственный пулевой собственный вектор соответствующий нулевому соб-
10*148
Глава (і
ственному значенню. Таким образом, в электродинамике поле излучения представляет собой такое поле, которому соответствует тензор энергии — импульса—натяжений с нулевым собственным значением. Так как все четыре вектора скорости являются единичными, то отсюда следует, что вектор Пойптиига не может быть устранен с помощью преобразования координат типа оїтрапсформирования.
Рассмотрим сходную ситуацию в случае гравитационного поля, определяя собственные бивекторы тензора Римана P следующим образом:
R рр' = XP |lvp° „ (7.128)
RahPb = WA-
Величина P|1V антисимметрична и записывается как а Ьч— — aj)^. Единичные векторы и Ъ, определяют двумерное пространство. Другие два пространственных измерения, полностью ортогональные двум первым, также определены через P . Выражение „полностью ортогональні,іе" означает, что любой вектор первого двумерного пространства ортогонален любому вектору второго двумерного пространства. Пары двумерных пространств, соответствующие различным собственным бивекторам, могут пересекаться таким образом, что в каждой точке пересечения определяется 4-вектор, касательный к образуемой таким пересечением кривой. Эти 4-векторы называют главными векторами Римана. Если рн-манов главный вектор явл>ет;я пулевым, то говорят, следуя Пирани, что данное гравитационное поле есть поле излучения.
Петров [25( показал, что при соответствующей ориентации координатных осей, такой, что метрика в данной точке оказывается лоренцовой, тензор Римапа может быть приведен к каноническому виду одного из следующих трех типов:
Тип 1:
Saft = О,
*АВ=\а о О' „ п"і'я (7Л29>
aI 0 0 Pi 0 0
0 <*2 0 0 P2 0
0 0 Ct3 0 0 P3
СП. 0 0 - а, 0 0
0 P2 0 0 - St2 0
0 0 Ps 0 0 — азI риоатационные волны
Тіш И:
149
Rar —
2а 0 0 — 23 0 0
0 а — о 0 0 P о
0 0 а-|- а 0 а P
2P 0 0 2а 0 0
0 P а 0 а — а 0
0 о P 0 0 — а —
Тип III:
(7.130)
0 -— а 0 0 0 а
— а 0 0 0 0 0
RAB- 0 0 0 а 0 0
0 0 а 0 а 0
0 0 0 о 0 0
а 0 0 0 0 о
(7.131)
Величины аир представляют собой скалярные инварианты тензора Римана. Значение а зависит от ориентации осей на плоскости') 1 0.
Исследование этих типов полей показало, что тип I имеет один времениоподобный и три прострапственноподобных главных вектора; тип II — один нулевой главный вектор и два пространствеиноподобных. Тип III имеет лишь один главный вектор — нулевой. Таким образом, критерий Пирани сводится к тому, что гравитационное излучение имеет место, когда тензор Римана относится к типу II (нулевому) или к типу III, по не к типу I.
Если в каждой точке пространства, метрика которого является шварцшильдовской, ввести лорепцову систему координат с осями, параллельными исходным координатным осям,
') Ввиду очевидной симметрии допустимо также использование З X 3-матриц. Обозначив верхнюю левую З X 3-матрицу через М, а верхнюю правую З X 3-матрицу через N, заметим, что основные свойства следуют из матрицы M -f- iN.150
Глави 7
то п этом случае тензор Римана будет принадлежать к описанному пише типу I, с
1 OM 0 п
--2-а' = а2 = я.ч =TvT' =
В случае метрики Эйнштейна — Розена аналогичное преобразование приводит к типу II, для которого
° = 7 (Ф. Р. / + ЗМ. / + Ф, Л, Р - Зф, Рф,,).
Необходимо подчеркнуть, что при использовании классификационной схемы Петрова компоненты тензора Ra^ji в каждой заданной точке следует вычислять в локально лоренцовой системе координат.
„Нормальной" координатной системой называют такую конкретную систему, в которой в окрестности одной тонки справедлива метрика Лоренца, первые производные g раины нулю и вторые производные g^ имеют специальный вид. В полюсе такой системы должны выполняться следующие условия:
JC" = 0, /г = 8 ,
= = (7.132)
/TliV1 pa "2" (^pp-Va I Rp-i^o)*
Пирапи вычислил среднее значение плотности канонического псевдотензора энергии — импульса — натяжений
V Vrz^ - V-Sp0 VzrS - gta.,
кра, і
в окрестности точки системы, определяемой условиями (7.132). Это среднее значение определяется как
(V^ V> = )? [(4^4)-1 f V V~S rf^j • (7.133)
Такое осреднение помогает обосновать приведенное здесь определение излучения. Величина / v выражается через 0, поэтому она равна нулю в полюсе любой геодезической системы координат. Однако определенная нами средняя вели-I риоатационные волны
151
чипа не обращается в нуль, так как может иметь место вклал со стороны вторых производных g^v. К сожалению, это среднее значение не имеет размерности плотности энергии. Оно представляет собой подобную энергии конструкцию, характеризующую (см. гл. 8, п. 2) меру энергии, которой может оперировать наблюдатель, движущийся со скоростью W, при выполнении условий (7.132). Выполнения приводят к значению
(v~g'/> = 4т ^V - 2VO (и'"Ux+X
X (R"a\ + R'?\) R^ (??). (7.134)