Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы рассмотреть второе приближение, необходимо проинтегрировать (7.77); это приведет к появлению двадцати двух интегралов. Нам нужно найти значение скорости при /-*-)-°°- Как легко показать, отличными от нуля в этом случае окажутся лишь три интеграла (интегрирование проводится по контуру на комплексной плоскости), и мы получим в результате
(??^ ~ - ^ +p^2 T^ia++ p^х
* ' -OO
X [(« — let)2 + Р(0)2]} -C2Iit-Ar
+ OJ
^^ —со Ч- оо
-L6рфВ2 f [(a-lct)2^2f[(a + ict)2+p<02\-^.c2dt. (7.81)
') В следующей главе мы покажем, что энергия всегда может быть поглощена из системы, в которой фурье-образ R/njo в локальной лоренцовой системе координат с осями, направленными вдоль геодезических, отличен от нуля. I риоатационные волны
135
Эти интегралы можно выразить через
F T
P(O)2
[1 — ,Zsin2 0]
2(11'/, '
*2+Р<о,2
(7.82)
так как
(--M
\ Cdtjt^m
^B2F
5Pto)
3P(O) (5?2 +P(O)V
н- B1
P(O) К + P(O)2)''2 К + P(O)2/' К + Р(о)2//а . dF Г 4 (а2 — Pf0)2) 12a2
dz L Р(о) (?2+ P(O)2)''2 P(O)K+P(O)2)'/j 8C'- P(o)2) P(Q) _ 9P (5fl4 + 6fl2P(O)2 + P(O)4) (a2+ P(O)2)''2 (fl2+P(o)2)Va
12P(O) (5fl2 + P(O)2) (?2-P(O)2)
+?2
d2F ~dz*
(fl2+P(0)2)'/j
P(O) (aJ+P(O)2)3 K -P(o)2)2
3P(O) (^+-P(O)T'"]
(fl2 + P(O)2)'"'' 3p (5a4 -f- Sfl2Pf0)2 + P(0)4) (ді P(o)2) ¦
K+P(O)2/'''
3P(O) (5a'+P(O)2) (д2-P(o)2)2 , P(O)K-P(Q)2)
K+P(O)2)
2 \ /з
K + P(O)V'
(7.83)
Это громоздкое выражение сводится в предельных случаях
больших и малых р(0) при t оо к
dt
rfP (2)
2^2gP(O)
2 ?2c
dt
(7.84)
(7.85;
Выражения (7.84) и (7.85) показывают, чти после прохождения волны, когда внутреннее пространство снова стано- 136
Глава (і
вится плоским, частица сохраняет остаточную скорость ') относительно центральной оси. Эта ось играет существенную роль в нашей задаче, так как пробная частица может быть помещена па пей; в этом случае она, согласно (7.79), не приобретает остаточного движения. Поэтому наблюдение частицы, обладающей радиальной координатой р, предполагает наблюдение относительного движения пары частиц.
Заключения, подобные изложенным здесь, были независимо получены Мардером [1]. On продолжил решение в виде импульса внутрь цилиндрической массы, являющейся излучателем. Оказалось, что масса цилиндра уменьшилась после излучения импульса.
10. Точные решения для плоских волн 2)
Плоские гравитационные волны рассматривались рядом авторов. Тауб |15] и Мак-Витти [16] показали, что неполя-ризоиапных плоских волн не существует. Робиисону и позднее
') Такая скорость дает по прошествии бесконечного времени бесконечное смещение. Однако это обстоятельство не сказывается на справедливости нашего разложения в ряд, которое производится по степеням В/а.
2) Эти волны оказываются не плоскими, так как при распространении в направлении оси х отклонение пространства от плоского зависит от у и z. Боиди называет их плоскими ввиду того, что они обладают той же степенью симметрии, что и плоские электромагнитные волны. Тины метрик такого рода допускают группу движений с пятью параметрами.
Мы приведем здесь поучительную трактовку этих решений, данную Боинором [14]. Рассмотрим метрику
— ds2 = A rfS2 + В df + С dz2 — 2b dy dz— D drf.
Величины А, В. С, Ь и D являются функциями только ?— tj.
Выберем такие координаты, чтобы A = D-, тогда, полагая ?-> г— X, Tj-yx-f je, получаем
— ds2 = — dxdx-irB dy2 + Cdz2 — 2b dy dz.
Здесь В, С и b зависят только от х.
Для такой метрики одно из уравнений поля в вакууме имеет
вид
» _ ру.__L (V2 , / Obyt _дВ0С_
дх2 2х\Ъх) т\дх) дх дх '
где ^ = BC — Ь2. Другие уравнения поля в вакууме выполняются независимо от вида В, С и Ь. Таким образом, для грех неизвестных функций мы имеем лишь одно уравнение. Следовательно, две 137
Бопди удалось показать [17, 18), что уравнения ноля допускают существование „плоских" волновых зон конечной протяженности между двумя областями плоского пространства времени. Они исходили из метрики, первоначально предложенной Розепом:
ds2 = е2- (dz2 — dl2) — и2 (е» dr\2 + е-2? A2). (7.86)
где и --= T — J. Функции ? и u зависят лишь от и, причем 2І2, и = a (Jii ц)2. Эта метрика удовлетворяет уравнениям поля в вакууме R — 0. Вообще говоря, она описывает искривленное пространство, но, если удовлетворяется соотношение
"?,„.«+ 2?. «2 (7.87)
то все компоненты Ra^b обращаются в нуль и пространство становится плоским. Если произвести преобразование координат
U = I-I = Ct-X, e2S (т 4- 5) = Ct + X-M-1 (у2 + Z2), TlUeV--=)), llT,e~V = Z
из них можно выбрать произвольно. Пусть b = О, В = р2 и С = q2. Тогда уравнение для Ril примет вид
1 д2р 1 d2q ^ а р Ox2 q дх2
Возьмем в качестве частного решения этого уравнения р = sin пх, q = shnx, где п — вещественная константа. Это решение будет иметь особенности на гиперповерхностях X = тк/п, х — ± со, где т—целое число.
Эти особенности можно устранить с помощью следующего преобразования: ,
х° = -с + пУ2 s'n пх cos пх -•)- nz2 sh tix ch пх,
