Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В первом приближении это преобразование можно переписать как
--= — V ix'). (7.17)
Тогда преобразованный метрический тензор будет равен
S-V' -= SrllV - — V (7.18)
Аналогично
AV=a^ -sX11-V^." (7-19'
?V - ^ - „ -- v + Siiv5Ti.,) (7.20,
и
С,'« =ф' — . (721)
T ц . я , ц . я V> Pa " '
Если координатные условия (7.11) не удовлетворяются, мы имеем
(7.22)
Из (7.21) следует, что соотношение
<pV".. = 0 (7-23)
может быть получено теперь бесконечно малым преобразованием координат, коль скоро
DS11= V.»- <7-'24)
Если, С другой стороны, Cp ai ^ = 0, то мы можем производить произвольные преобразования координат, оставляющие это условие в силе, если наши функции c11 будут удовлетворять однородному волновому уравнению, соответствующему (7.24).
Вернемся к уравнениям (7.12). В пустом пространстве они описывают волновые поля, причем
? V — 0. (7/25)
Интересно определить, какое число независимых компонент h или cpliv необходимо для описания решения (7.25), имеющего вид плоской волны. Однако, как выяснится, удобнее рассмотреть сначала случай локально плоского возмущения произвольной амплитуды, а затем уже применить полученные выводы к случаю слабого поля. I риоатационные волны
121
2. Тензор Римана в случае локально плоской волны произвольно большой амплитуды
Рассмотрим гравитаииониую волну, обладающую равными нулю пространственными производными в направлениях, нормальных к направлению ее распространения. Такую волну можно поэтому назвать локально плоской. В этом случае мы покажем, что в любой заданной точке все компоненты тензора Римана могут быть выражены через производные трех компонент g описывающих интервалы на плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Введем геодезическую систему координат, такую, чтобы в данной точке пространства — времени символы Кристоффеля обратились в пуль, и метрика совпадала бы с лоренцовой. Тензор Римана примет вид
Яв?Т! --- "2" (.?, + g9v .« - ?t — ЙУ„ (7-26)
Выберем в качестве направления распространения волны ось Xі. Тогда частные производные от 11 по
н X3 будут равны нулю. Рассмотрение (7.2G) показывает, что компоненты AJct--V5 можно разбить на три группы: 1
(7.27)
^2020 — ' 2 1 g-12,00' R1220 — 2" gz 2,10»
R'MW ~ 1 " 2 АГ23,О0' ^1230 — 1 2 g 23,10'
R.um — 1 '2 ¦ R\:m ~ 1 "2 g-2, 3,10'
R1212 ~ - 1 2 fe.ii- ^1330 "" 1 2 a,in.
R12 la ~ ' 1 _ g23,11 • Rym :,, I
Rm: ,=- 0, A?2323 - 0,
Rm, = 0, A?2320 = 0,
RWr , -0, R'2:a) =~ 0;
^1030 — 1 2 S-Is,но + J ArHMC RHY2() ~ 1 ~2 Ari?,oo-f"
A!i3io - 1 2" SM.II + 'J ' ATi3.io> RV2\0 — ~ 1 2 Ar2 0,11 "Г
^IOIO — 1 "2 S-Ibuo jTg ют) 1 2 ArOOlH-
(7.28)
1
~2 Л 20,W' 1
2 /3Ti2.ii)»
(7.29). 122
Глава 6
В случае пакуума R = О и для данной точки при использовании лоренцовой метрики совместно с (7.27) — (7.29) получаем
R12 == R1020 — 0- Rw = #3030 ~Ь #2020 ~Ь #1010 — 0.
R20 /?!210 — 0. Rio — 1220 ~Ь #Ш0 ~
#u = #юю — #киз—#1212 = 0, Rn — Rlm = 0, (7.30)
#22 = #2020 — #1212 = 0, #23 = #2(130 #1213 = 0,
#33 = #3030 #1313 — 0, #30 — #1.110 = 0.
Из этих уравнений, согласно которым компоненты Rv, #20- #13 и #3» равны нулю, следует обращение в нуль первых четырех значений тензора R^i, данных в (7.29). Уравнения же для /?п, R22, Rm и Rno в совокупности приводят к равенству нулю последней величины (#ш1п) в (7.29). Отсюда следует, что единственные отличные от пуля компоненты тензора Римана представлены десятью величинами (7.27), полиостью выражающимися через g22, /? и gxv Уравнения (7.20) для Rn, R22, Ri3 и Ron приводят также к соотношению
SH.oo+ ?-33,00 = 0. (7.31)
Из (7.31) следует, что интересующие нас вторые производные двух компонент метрики g22 и ^33 не являются независимыми. В приближении слабого поля выражение (7.26) справедливо во всем пространстве. Тогда в силу (7.31) тензор Римана может быть выражен через A22, A33 и A23 во всех точках. Поэтому мы заключаем, что возможно такое преобразование координат, посредством которого можно „оттрансформировать" все компоненты Aijs, кроме „поперечных". Это можно проделать относительно просто с помощью бесконечно малых преобразований координат, удовлетворяющих уравнениям (7.24). В следующей главе мы покажем, что относительные смещения тесно расположенных свободных частиц, заполняющих область, в которой распространяется волна, происходят в направлениях, перпендикулярных (поперечных) к направлению распространения волны. Гравитационные волны
12а
3. Приближенное вычисление объемных интегралов
для источников
Вернемся к рассмотрению интегральной формы решения для слабого поля (7.13). На некоторой ступени приближения все компоненты такого решения могут быть выражены через Тю. Тензор энергии — импульса — натяжений в первом приближении удовлетворяет законам сохранения
тик. к~ Тж,0 = 0, (7.32)
TJk. n-Tj0t0 = Q. (7.33)
Умножая (7.33) на Xі и интегрируя по частям во всем про-сгранстве (опуская обращающиеся в нуль на бесконечности поверхностные интегралы), мы можем записать это выражение в симметричном виде
