Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
f Tij ,Px = - (T10Xj+ Tj0X1) 0 • (7.34)
Умножая (7.32) на XiX3, интегрируя по всему пространству и вновь опуская равные нулю поверхностные интегралы, получаем
\§ T^XiX1 (Px^ = § (Ti0X1 +Tj0X1) (Px. (7.35)
На основании (7.34) и (7.35) можно записать
J Tij <Рх = -§"[/ 7Mxtxl fl^l о „ • (7'36>
Использование (7.36) облегчает некоторые вычисления, в которых удобнее рассматривать распределение массы -энергии, чем распределение натяжений'). Мы пренебрегли в соотношении (7.36) эффектами запаздывания, поэтому оно теряет силу в областях, где имеются источники, размеры которых велики по сравнению с длиной излучаемой волны.
В случае же источника, локализованного в малой по сравнению с длиной волны области, выражение (7.36) позволяет вычислить все компоненты ср * с пространственными
') Отсюда следует квадрунольиый характер гравитационного излучения. — Прим. ред. 124
Глава (і
индексами в первом пенсчезающем приближении. При этом использование координатных условий позволяет получить и остальные компоненты. В некоторых случаях этот метод оказывается проще, чем непосредственное исполіззнаиие интеграла (7.13).
В случае точечной частицы необходимо найти значение интегралов в пределе, при стремлении объема к пулю, с учетом того факта, что вследствие явления запаздывания в различные моменты времени необходимо брать разные элементы объема. Более прямой путь состоит в том, чтобы, исходя из известного поля покоящейся частицы, обобщить затем это решение на случай движущейся частицы, как это делается в электродинамике. Покоящаяся частица массы т порождает поле с потенциалом
4 Gm
ҐП)
(П
с2\г — г'\
В линейном приближении мы можем заключить, что искомое обобщение для движущейся частицы должно иметь вид
AGmUtMr4 0= иг, , V (7.13а)
C2U а{г' —г")
где U'tl— четырехмерная скорость нашей частицы, т—ее масса покоя, и
t' = t
{{г'1-г1), c(t'-t), r — r' I
Можно переписаті. (7.13а) в виде
<?„(г- О = —
AGmvl Vj
r C1 \ с I г — г I
— AGmvl
(г. О =----;----г----J-^-. (7.136)
' с2 \ c\r — r I
A Gm
<Роо(г- t)
I риоатационные волны
125
Здесь v'i - обычная трехмерная скорость рассматриваемой частицы.
4. Поток и плотность энергии в приближении слабого поля
Коиариаптная дивергенция тензора энергии — импульса — натяжений равна пулю в силу уравнений поля и тождеств Биаики. С помощью (3.79) это можно выразить и форме
7Viv = Y^J (7V V - 4 /г.,, , Г? = 0. (7.37)
Псевдотензорпая плотность энергии — импульса — натяжений Z1/ Y- g связана с плотностью тензора энергии — импульса — натяжений соотношением
(V V~~sl V -Г (t; YrirSl , = 0. (7.38)
Величину 7 можно вычислить с помощью выражений, полученных в гл. 6, однако в случае слабого поля можно, непосредственно сравнивая (7.37) и (7.38), записать
(С VzrD. V=-Y еа9. „ Ttf Y K9,, (7-39)
Вид равенства (7.39) наводит па мысль рассмотреть (7.12), умножив его па Ii 1 f :
= - (7.40) Используя (7.10) и (7.39), получаем отсюда
А-Чк,.," ¦ і V./'!-^(V/(7.41)
Л'ожио написать тождество
mr^ , а'1 Ir »V I N , > V !
A .,JAa3iv -- yViA.v J =
= [Л?'v ~ k V е " -1-11 ¦ A vI Ї17• РЛ' Vli v:
(7'. 42) 126
Глава (і
сопоставляя его с (7.14), получаем
VVr=7? = [>< Л?'' ~ ^ ' +
-f-v(4" РЛ'Р —Л«Р, рАаР,р)]. (7.43) Свертывание (7.10) дает
«Р.'=-АЛ (7'44>
Новое выражение псевдотеизорной плотности можно получить, используя (7.44) и (7.10):
V v~T=ей; ІУv- v+
+ (7.45)
5. Линейный квадрупольный осциллятор для масс
Рассмотрим теперь линейный квадрупольный осциллятор, образованный массами и расположенный в начале прямоугольной системы координат. Пусть движение масс совершается вдоль оси X3. Пусть максимальное значение зависящий от времени части момента инерции равно /. Решения (7.12) можно записать при помощи (7.36) в виде
2т2Gf <« . „ . ,
«Рэз=-=-^—cos—(л1J_r). (7.46)
Колебания в направлении оси х3 могут привести к появлению лишь компонент CfiQ и <р,ю. Для вычисления компонент срзп и cpu0 можно использовать координатные условия cp4ViV:=0, если они имеют место. Если плотность энергии в окрестности источников не настолько велика, чтобы пространство было существенно искривленным, то закон сохранения '/'^vi v = 0 в лоренцовой метрике справедлив с достаточной степенью точности. Если источники сконцентрированы в малой области, так что эффекты запаздывания несущественны, то из (7.12) следует, что координатные условия действительно выполняются. Тогда можно записать
<Рз3.з+?3°.о=0 (7.47)
<Po3,3-t-?o°,o = 0- (7.48) I риоатационные волны
127
Поместим наблюдателя на радиусе, составляющем угол 9 с осью X3. Тогда из (7.46)-—(7.48) получим
Величины O00 и tp03 можно было бы найти непосредственно из (7.12) или (7.13а), однако это потребовало бы тщательного рассмотрения эффектов запаздывания и энергии в различных частях осциллятора, где проявляются упругие силы.
Излучаемую мощность можно вычислить следующим образом. Нас интересует величина
которая при учете законов сохранения может быть записана в виде
