Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2 о [J^0 VzrI) „
па слагаемое, обычная дивергенция которого равна нулю. Если этому слагаемому придать вид аД, то дивергенция будет обращаться в пуль автоматически. Поэтому мы запишем
- 2 f- и? « Д (6.51)
С помощью (6.39) получим
.....-S =J-Th^ + -(<V 1 a?4-о.Г g 4-
(^pT7pt - Г?ГХ?Х)}V-g ^a- (6.52)
') H. В. Мицкевич [17, 18] получил то же выражение, всходя из принципа действия. — Прим. ред.
VJ
2) Величины Un." иногда называют супернотепцналамн. 110
Глава (і
Помня, что
можно путем преобразований привести (6.52) к виду
1
O(V0V-S)
OeaV- ,
D1Ar=-SMa IS <.« « 5 R /1,8
2 У — .fr
- J (V=1T1;^ - /=TvVe). ?
Из сравнения (6.53) и (6.51) следует, что
С (6.53)
16*0
Uv? = -^=- ^lie [(- (ГЯГЭ - g"g-9)). р (6.54)
vj3 в„ -
(б-55)
Iі ¦ P 16*0
При линейных (аффинных) преобразованиях координат эти величины ведут себя как тензорные плотности, поэтому их называют аффинными тензорными плотностями.
Для выполнения закона сохранения момента импульса представляется удобным (но не необходимым) [4] построить величину, соответствующую t11P, но симметричную по индексам аир. Такая величина может быть получена из Ui" следующим образом. Рассмотрим выражение
и»?., = (g^up), „=([-* V)l. р [(- дгГ'Ч X 4-
+ (- gy'h l- g(gV -gV) 1,р,*} t|o • (6-56)
Последнее слагаемое в (6.56) симметрично по р. и v, первое же не симметрично. Если в выражении (6.54) отбросить множитель (—g)~ '*, то полученная величина
№ = I-g (g*fff - ^Vp)], р -J^a (6-57)
будет иметь дивергенцию, симметричную IIO |l II V. Мы будем обозначать гравитационный псевдотензор Ландау — Лифшица через /1", а полученное ими сложное выражение для псевдотензорной плотности через С помощью (6.57) Ландау Законы сохранения
10<>
и Лифшиц записывают
_ (__ g) _ р. (6-58)
Тогда закон сохранения для K^ выполняется вследствие антисимметрии /г1*- по v и р. Интегрирование дает величину ъР* вида
= Ij (— ?) [ Т?0 + Г110] rfjc1 ^jc2 dx3. (6.59)
При линейных преобразованиях е^0'1 ведет себя как плотность четырехмерного вектора, а не как 4-вектор. Используя уравнения поля и определение Ландау и Лифшиц дали следующую формулу для f:
= Ша К2гу\ - Г%РГ%« - rVrV (rt'' - + + grtgr (IVV + гт.г\ - - г?тг"ар) + 4- (гу\ + - - г ^rp J +
+ gt4g"> (Г%вГ\Р - Г^Гвр)1. (6.60)
Здесь вновь псевдотензорная плотность /Cliv обладает нежелательным свойством, заключающимся в том, что для получения правильного выражения энергии необходимо пользоваться специальной координатной системой, в которой метрика приближается на больших расстояниях к изотропной. Последовательная интерпретация Л"00 как локальной плотности энергии здесь снова невозможна.
Задавшись целью устранить эти недостатки, Мйллер использовал возможность добавления к правой части равенства (6.51) новой аффинной тензорной плотности третьего
і т VQ
ранга V^, что не нарушает справедливости законов сохра-
T T VJ
нения, коль скоро V^ антисимметрична по индексам v и о. МСллер ввел функцию Z11", определяемую равенством
X," V- (6-61)
Тогда псевдотепзор энергии —пмпульса —натяжений Aj будет равен
Av Y~g = (TJ -г- Ij) J "g ... Xpi" .. (6,62) 112
Г лапа S
Здесь tj — гравитационный псевдотензор, соответствующий Лч\ Добавочная аффинная тензорная плотность Va" выбирается из соображений придания A|tv следующих свойств. Для физических систем, допускающих использование „лоренцовой" метрики (6.46) па больших расстояниях, должно иметь место равенство
/ V1S=Jdtx = J V=S <Рх. (6.63)
Величина A0" должна вести себя как 4-вектор при всех не затрагивающих оси времени преобразованиях координат. Таким образом, при произвольных чисто пространственных преобразованиях величина A00 ведет себя как скаляр, a A0' — как 3-вектор. Для определения удовлетворяющей этим требованиям величины V " Мёллер исследовал трансформационные свойства т" У - g при произвольных бесконечно малых преобразованиях, не затрагивающих временной координаты. Таким образом, был рассмотрен вопрос, в чем заключается отличие свойств t0°V—g от свойств скалярной плотности при преобразованиях пространственных координат. Следует рассмотреть такие комбинации g и его первых производных, которые с помощью (6.46) приводят к величине Vfl1-, убывающей при г—> ".о быстрее, чем 1 /г2. Эти соображения привели Мёллера к функции
V = u^ ~ Ku "+(г>-(->4)
С помощью (6.54) можно вычислить выражения для V-1 и X11", например
У," = ^ШГ- 0?. а - Sv.,, 3) W*- (6.65) Для нахождения величины A0* нам понадобится
Zo" = —. - Soa, з) (6.66)
Рассмотрим теперь поведение выражения (6.66) и А,,« при преобразованиях, нигде не касающихся временной координаты, по произвольных в остальных отношениях. Тогда gIH преобразуется как 4-вектор. Вспоминая, что для любого Законы сохранения
10<>
вектора верно соотношение /^v — A; ^ — Blli,—Allll. заметим, что разность, стоящая в скобках в (6.66), преобразуется как тензор. Тогда из (3.78) следует, что величина У.(Г\ |и — Л)° YS преобразуется как скалярная плотность. Так как преобразуется по закону антисимметричной тензорной плотности, то величины A1/ составляют 3-вектор. Мы видим, таким образом, что псевдотензор Мёллера — Мицкевича, задаваемый по (6.62) и (6.65), обладает искомыми трансформационными свойствами ').
