Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор T называют симметричным во времени, если
7-,3...^-(*0. *') = (—1)" 7^...^-(-*0. Л (7.103)
где п представляет собой число повторений нуля среди индексов a?-p ....
Мы увидим, что введение такого свойства симметрии существенно облегчает решение системы (7.95) или (7.96). Для симметричного во времени решения величина ds2 одинакова для пар событий, характеризующихся одинаковыми дифференциалами координат и соответственно расположенных в моменты -(- х() и —jf", так что ^rm = O. Все рассматриваемые тензоры в данном случае должны обладать аналогичным видом симметрии. Отсюда следует, что уравнения R{)i — lI2KalR = (8тгО70'/с4) удовлетворяются автоматически, так как R01, goi и T0' равны пулю. Соотношения, накладываемые па начальные значения, сводятся к одному уравнению
R0°-j R = ^-TJ. (7.104)
Уравнение (7.104) можно переписать в виде
Ло° - -2 W + R11) = і[*ю'°- (R10'0 + RlJt)J =
= -4 RlJk = ^f Т0о. (7.105)
В системе с ортогональной временной координатой Rlkik сводится к (31/? — скалярной кривизне, вычисляемой через трехмерную метрику. Это следует из равенства Riklk = = Rina?g'agkV. Так как і и к — пространственные индексы, а glt) = 0, то отсюда следует, что величина RiJk составлена лишь из суммы пространственных производных от компонент метрики gij с пространственными индексами. Тогда уравнения для начальных значений принимают вид
^R -)- —~г~ T00 — 0. (7.106)
В вакууме в случае „чистых" гравитационных волн (7.106) принимает вид
WR = 0. (7.107) 142
Глава (і
Рассмотрим решения уравнения (7.107). Такие допустимые начальные значения позволяют выяснить важные характерные свойства полного решения. Брилл исследовал свойства решений следующим образом. Пусть g'^ — искомая метрика, удовлетворяющая уравнению ^R'= 0. Пусть ds'2 получается из другой метрики (ds2) с помощью соотношения
ds'2 = e2Pds2. (7.108)
Обозначаемую без штриха метрику g^ назовем основной метрикой. Величина P пусть будет функцией координат. Тогда преобразование (7.108) можно рассматривать как новый вид операции, при которой в противоположность использовавшимся ранее преобразованиям координат интервал меняет свое значение. В каждой точке дифференциал любого интервала изменится на множитель ер. Отсюда следует, что форма малых треугольников или любых малых фигур вообще не изменится. По этой причине преобразования (7.108) называются конформными. Можно показать, что величина R' выражается через скалярную кривизну R (основной метрики) следующим образом [23]:
R' = е~2Р [/?--|-(rt — 1) (2 ДЯ-j- (и — 2) (VP)2)]. (7.109)
В (7.109) число п представляет собой число измерений пространства, а
ЬР = gl,P;i -.J. ^P)2 = g'JP.iP, у
В нашем случае мы имеем дело с R' для трехмерного пространства, так что п — 3. Удобно произвести подстановку
qr = et(«-«/*lP (7.110)
Тогда при R' = 0 равенства (7.109) и (7.108) примут вид
ds'2 = Wi ds2, ДЧГ+ IoJflqr = о. (7.111)
Подробное исследование уравнений (7.111) привело Брилла к заключению, что существуют решения (7.111), для которых величина 4P" регулярна и нигде не обращается в нуль '),
') Второе уравнение (7.111) имеет вид уравнения Шредиигера в искривленном пространстве, для которого приведенное решение хорошо известно. I риоатационные волны
143
а соответствующая метрика асимптотически ведет себя как
tfs/2->(l +-JrYdri Vr2dQ?) + g^dt\ (7.112)
Функцию VF можно асимптотически разложить в ряд A-IrBiIt'1, где / =г 1,2,3.....Исследование (7.111) показывает также, что первый пеисчезающий член разложения R ведет себя как г-4. Равенство (7.112) дает однозначный способ определения массы — энергии любой волны, которая допускает разложение по обратным степеням г, так что применимо равенство (7.112). Брилл обнаружил, что такая „шваршиильдопекая" масса является положительно определенной величиной в случае аксиально симметричных полей Чтобы доказать это утверждение, следует разделить второе уравнение в (7.111) на Ч' и произвести интегрирование:
f^ V^cPx = f -fdS +
по поверхи.
4- J (^Щ УЩй3Х =— R УЩ&Х. (7.113)
по объему
Так как
, . 2 Gm , , . Gm
то
(7.114)
Из (7.113) и (7.114) следует, что
^L = /(-^)2 + . (7.115)
В случае цилиндрической симметрии метрику можно записать в виде
ds'2 ¦= ф4 [ем (d'f + dz1) + р2 dtp2] = Y ds1. (7.11 б)
') Араки (22] показал, что в приближении слабого поля энергия является положительно определенной величиной вие зависимости ог предположения об аксиальной симметрии. 144
Глава (і
Здесь величина q асимптотически убывает но крайней мере как 1 /г2, где г2 = p2 -f- z1. Как q, так и ^i0 обращаются в нуль на оси 2.
Для основной метрики [заключенной в (7.116) в скобки)
величина интеграла J*(3)/? Y^'g d3x может быть найдена непосредственно. Она стремится к пулю, если радиус большой сферы с центром в начале координат устремить к бесконечности. Отсюда следует, что массу (7.115) можно записать так:
Так как величина T нигде не равна нулю, получаемая из (7.117) „шварцшильдовская" масса имеет определенное значение и положительно определена для обладающих аксиальной симметрией локальных возмущений, сходящихся к оси при отрицательных t и расходящихся от нее при положительных I. Законы сохранения обеспечивают инвариантность т до и после момента времеинбй симметрии. Более того, из (7.117) и (7.112) видно, что эта масса может быть равна пулю лишь в случае плоского пространства.
