Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
13. Условия дифференцируемости и непрерывности многообразий
До сравнительно недавнего времени, как правило, требовали, чтобы весь пространственно-временной континуум покрывался одной несингулярной системой координат. Однако выяснилось, что такое ограничение не необходимо. Можно использовать более чем одну систему координат, если в области их перекрытия можно удовлетворить определенным условиям. Область, в которой используется одна из координатных систем, иногда называют координатным включением.
Лишнеровиц [19] детально исследовал условия, которые ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТ!,ся для того, чтобы решения уравнений гравитационного поля были единственными в случае T ¦-— 0. Он потребовал, чтобы на пересечении двух координатных включений локальные координаты точки в одной системе координат были четырехкратно дифференцируемы по коор- I риоатационные волны 145
динатам другой системы и чтобы якобиан, построенный из таких производных, не был равен нулю. Первые и вторые частные цроизводиые должны быть непрерывны; третьи и четвертые частные производные должны быть по меньшей мере кусочно-непрерывны. Метрический тензор должен быть непрерывным, и его первые частные производные также должны быть непрерывны. Вторые и третьи частные производные метрического тензора должны быть по меньшей мере ку-сочпо-непр.рывпы. Этим условиям метрический тензор должен удовлетворять повсюду.
14. Шестимерная трактовка теории гравитационного излучения
Пирапи [24] провел интересный анализ проблемы гравитационного излучения, основанный на работе Петрова [25] и обобщении идей, известных из теории электромагнитного излучения. В случае вакуума
Rv,= 0. (7.118)
Рассмотрим сначала гравитационную волну, на фронте которой тензор Римана терпит разрыв. Предложенные Лишиеро-вицем условия непрерывности, накладываемые на метрический тензор и его частные производные, обеспечивают единственность такого решения. Рассмотрим некоторую заданную точку в системе координат, такую, что тензор g дает в этой точке лореицову метрику, символы Кристоффеля обращаются в нуль и разрыв па волновом фронте движется в направлении оси Xі. Перейдем к новым координатам ; и С с помощью преобразования
V-O _ у-]
* - V • (7Л19>
I-0 4- Y1
* - V2 (7Л20)
Линейный элемент в нашей точке принимает вид
ds2 = 2 (Г- <?. — dx22 + dx32. (7.121)
10 Дж Вебер I
1_46_ _______і Глава 7
і
Поверхность разрыва определяется равенством dt. = 0. Тогда тензор g^ и его первые производные должны быть непрерывными, вследствие чего непрерывными должны быть и производные Однако величины
-TJHir- (7.122)
не должны быть обязательно непрерывными. Исследование выражения для ковариантпого тензора Римана Л?а№, подобное проведенному в п. 2, показывает, что в этой специальной системе координат разрыв тензора Римана можно описать с помощью одних только величин d2g22/dr-2, ^gxJdl2 и ^ff23/*2- Причем для этого достаточно всего двух переменных о и «, имеющих вид
—ЛИ»
Величину <р можно обратить в нуль путем соответствующего выбора осей на плоскости 2 3.
Шестимерный формализм оказывается удобным для классификации разрывов тензора Римана и в других целях. Мы снова выбираем координаты таким образом, чтобы шестимерное пространство имело псевдоевклидову метрику в заданной точке, причем
ЬАВ = ( 1, 1, 1,-1,-1, -1).
Физические компоненты заданного тензора в точке определяются через компоненты, измеренные наблюдателем, находящимся в локально лоренцовой системе. Если величины Haq являются физическими компонентами антисимметричного тензора, то соответствующий 6-вектор можно получить путем перенумерации индексов по правилу
a? 23 31 12 10 20 30 Л 1 2 3 4 5 6 (7J24)
Физические компоненты тензора Римана /?аг).,8 связываются с симметричным 6-тензором Rab также с помощью приведенного правила, причем берутся пары индексов aj5 и fa. Тогда I
Гравитацийнные волны
147
скачок тензора Римана можно записать так:
АД
AB
0 0 0 0 0 0
0 ---о — 9 0 — ф о
0 — ср а 0 а ?
0 0 0 0 0 0
0 — <Р а 0 а T
0 о Cf 0 ? — а
(7.125)
Этот вывод следует из условий Лишнеровица. Сравнение величины (7.125) с выражениями п. 2 показывает, чего следует ожидать, а именно, — если волна представляет собой разрыв в плоскости, движущейся в направлении оси л;1, то отличные от нуля компоненты тензора /?a?T5 совпадают с записанными в (7.27).
Вспомним теперь некоторые свойства потока энергии в электродинамике с тем, чтобы обобщить их на случай гравитационного поля. Для покоящегося в лоренцовой системе наблюдателя вектор Пойнтиига равен T0i, где Tliv — электромагнитный тензор энергии — импульса — натяжений. Рассмотрим аналог вектора Пойнтинга Pp. Ковариантное выражение для Ppl справедливое для наблюдателя, движущегося с четырехмерной скоростью U , можно записать в виде
Л"'
¦UJJ*)TJJ\
(7.126)
р \-р - р
Наблюдатели, движущиеся со скоростью волны, не обнаруживают потока энергии, так что для них (7.126) равняется нулю. Это приводит к равенству
W=Z(T^UW)Ut. (7.127)
Из (7.127) следует, что наблюдатель, не обнаруживающий потока энергии, обладает скоростью W, представляющей собой собственный вектор электромагнитного тензора энергии Tpv. Если электромагнитное поле есть поле излучения, то тензор напряженности удовлетворяет соотношениям F F^ = О
