Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
X1 = X,
X2 = у sin пх,
Xі = г sh пх,
после которого метрика принимает вид
_ ds2 = — dx° dx] + dx22 + dx*2 — n2 dx*2 (x*2 — .r®2).
Теперь особенности при X — тт./п отсутствуют. Особенности ira бесконечности могут быть также устранены путем выбора нового начала координат. 138
Глава (і
при и > 0, то метрика (7.86) примет вид ds2 — с2 dt2 — rfx2 — dy2 — dz2 -f-
+ 23,ц [(у dy - z dz) (с dt _ rfx) - (у2 - 22) -^4^ 1 -
— (P, u)2 (с2/2 — л2) (с dt — rfx)2. (7.88)
В случае ?>u = 0 везде, кроме области конечних положительных значений и, между двумя областями плоского пространства существует область искривленного. Амплитуда волны определяется величиной р, представляющей собой произвольную функцию и.
Второй тип воли описывается метрикой
ds2 = е22 (dx2 — dl2) — (- — O2 [ch 2p (dri2 + A2) -f-
+ sh 2p cos 2Q №2 — flfC2) — 2 Sh 2p sin 20 rfyj Л], (7.89)
где величины Й, p и 0 снова зависят от н = т — ?, причем 2І-, „ = (х — ?) [9, 24- 0, „2Sh2 2р]. (7.90)
Бонди отметил, что на границах могут удовлетворяться условия Лишнеровица, накладываемые па непрерывность g^ и ее первых производных. (Эти условия будут приведены ниже в этой главе.)
11. Формулировка начальных значений в теории излучения ')
Другой подход к задаче о гравитационных волнах состоит в том, что уравнения поля можно рассматривать как способ задания условий, накладываемых иа начальные значения J) потенциалов полей2), позволяющий затем предсказать, какова будет последующая эволюция этих полей. Тогда исследование допустимых начальных значений отвечает па вопрос о виде возможных волновых решений [21, 22].
Хорошо известен аналогичный подход к уравнениям Максвелла. При отсутствии зарядов и токов уравнения
(V-E)~ 0, (V-H) = O (7.91)
') Такие исследования впервые были проделаны Лишнерови-цем [19] и Фуре-Брюа [20].
2) Этот раздел представляет собой в известной мере резюме диссертации Д. Брилла (Принстонский университет, 1959). I риоатационные волны
139
образуют условия для E ч Н, скажем, при t=0. Тогда остальные уравнения
[VX?1--|4t> fV ХЯ! =т4г (7-92)
описывают эволюцию поля во времени, оставляя условия (7.91) справедливыми в течение всего последующего процесса.
Рассматривая уравнения общей теории относительности, мы можем выбрать в качестве начальной поверхности про-странствениоподобную гиперповерхность X0=O. Наши уравнения содержат вторые производные по времени, так что в качестве начальных значений следует взять величины g и их первые производные по времени. С помощью свернутых тождеств Бианки запишем для тензора Эйнштейна
O110J0 = -О/,, (7.93)
и
Olio; о = — Gv-'. і. (7.94)
В уравнениях (7.93) и (7.94) справа отсутствуют производные по времени выше второго порядка, откуда следует, что 01Ч) и Oji0 не могут включать производных по времени от g- выше первого порядка. Тензор энергии — импульса — натяжений производных от ? пе содержит. Отсюда следует, таким образом, что четыре уравнения
^o _ ^Mfl = JnJL го (7.95)
или
R0"- 7 VR = -8^ Ч (7.96)
можно принять в качестве уравнений для начальных значений, а шесть уравнений
(7.97)
или
Rlj^12 S1/^-"-Tlj (7.98)
являются уравнениями, описывающими эволюцию поля во времени. 140
Глава (і
Теперь можно показать, что если система (7.95) или (7.96) удовлетворяется в начальный момент, то любое решение, полученное интегрированием (7.97) или (7.98), будет удовлетворять уравнениям начальных значений (7.95) или (7.96) во все последующие моменты времени. Положим
X^ — W — і ff R - i^JL (7.99)
Поскольку ковариантная дивергенция от T^ обращается в пуль, то, исходя из (7.94), можно записать
Х^-о ^=-Xv-'.,і (7.100)
при р, — k соотношение (7.100) принимает вид
yftO v*0 , рА ут-аі) I I",0 vll0L
Л ;о —л , u "i ^ „«л -hi а0л —
= ( + Г'.,*'*). (7.101)
а при [л = 0 (7.100) дает
VU0 V-OO , pu v-aU I pO V-Oa
X ; о = X , о + J- и0Х -(- L a0A =
= — (Х°\ , + T0aiXal -^r1alXa0). (7.102)
Рассмотрим сначала выражение (7.101). При / = O величина Л"1" повсюду обращается в пулі,, гак что пространственные производные Xkit і также равны нулю. Отсюда можно заключить, что в начальный момент времени величина Хк{\ ,> равна нулю. Рассмотрим теперь (7.102). Так как Xltv и Х°1 повсюду равны пулю в момент / = 0, то величина Xoitl также равна пулю. Поэтому начальное значение Aroui0 равно пулю. Возьмем теперь частную производную по времени от (7.101). Это даст возможность показать, что начальное значение A"*lli00 также равно пулю. Дифференцируя по времени (7.102), обнаруживаем, что в начальный момент времени Хыі0 равен пулю, в силу чего Х{)іі0( также ранен нулю, а это в свою очередь гарантирует равенство нулю в начальный момент Arooi00. Продолжая дифференцирование, мы установим, что в начальный момент как величина XlHl. так н все ее частные производные по времени равны нулю. Тогда разложение A^0 в ряд Тейлора приводит к заключению, что величина Xw вообще равна пулю в любой момент времени. I риоатационные волны
141
12. Симметричное во времени решение с положительной энергией
