Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-c-?rf Y- S Т«(Рх-с f V"' P TnlCiSi
- V f V~~gt0°a3x +-c f V Jt IdS, (7.51)
Второй и четвертый интегралы берутся по замкнутой (двумерной) поверхности. Предполагается, что источник расположен в окрестности начала координат, и если замкнутая поверхность интегрирования удалена от этого источника, то второй интеграл в (7.51) обратится в нуль ввиду гого, что вне источника T01 равен пулю. Третий интеграл будет периодически изменяться во времени, а последний определяет равномерное убывание энергии источника. Используя (7.46), (7.45) и (7.49), получаем [4, 5] выражение для средней во времени мощности излучения Р:
6. Излучение вращающегося стержня
Исторически первой из рассмотренных проблем гравитационного излучения была задача об излучении вращающегося стержня [2, 6], к которой мы сейчас и обратимся. Пусть стержень содержит в единице длины массу а и вращается в плоскости ху с угловой скоростью ш. В начальный момент
?оо = coS2 ?оз =^ - cos °%з- (7-49)
(7.50) 128
Глава (і
t — Q стержень ориентирован вдоль оси х. Используя вновь (7.36) и (7.13), получаем
2G_ J2 с2f дх°2
J0 0 , AGInM2 2<.> . ,, .
а г2 cos2----dr — — J- - cos — (л:0 — г),
с с г с v '
2G д2 Г о . о <.>-v» , AGfmUl2 . „
¦22 ^ "cV ^ Jог s,n' "г dr ^ "TV-cos т(x -
— 1° д2 " crr fU-o2
(7.53) 0.
(7.54)
• , . (.!.V0 CO-V0 .
or2 sin - ¦ - cos — dr =
C C
AGImW2 . 2oi n _
sin — (xn — r). (7.5o)
В выражениях (7.53)- (7,55) через Im обозначен момент инерции стержня. Используем координатные условия (7.11) для вычисления срии, сри1 и ср,Тогда из (7.45) излученная мощность равна
P :.=
32 GI
> б
(7.56)
7. Дальнейшие замечания о решениях для слабого поля
Интересно отметить, что выражения (7.52) и (7.56) можно получить, просто предполагая, что гравитационное взаимодействие распространяется со скоростью света, и следуя эвристическим соображениям '), использованным при расчете излучения ускоренно движущегося заряда.
Из выражения (7.36) следует, что киадруполь-ный порядок является низшим порядком мультипольного излучения. Это видно также из того факта, что дипольний момент колеблющейся изолированной системы равен пулю вследствие закона сохранения импульса. Рассмотрим, например, большую и малую массы, связанные между собой (фиг. 10). Пусть эта система колеблется. Если смещения малой и большой масс соответственно
Фиг. 10.
пружиной обозначить
') См., например, [7J. I риоатационные волны
129
через Xm и хм, то из закона сохранения импульса следует, что
Itixm ¦+ Mxm = 0 (7.57)
и
ItiXm+ MXm= 0. (7.58)
Можно было бы ожидать, что левая часть выражения (7.58) дает дииольный вклад в излучение ускоренной массы, однако он равен пулю вследствие (7.57).
Бониор [5] вычислил потерю энергии квадрупольным осциллятором во втором приближении и обнаружил, что она равна излученной энергии, даваемой в первом приближении (7.52).
8. Точное решение для цилиндрических волн
Эйнштейн и Розен [8, 9f получили некоторые точные решения уравнений общей теории относительности в виде цилиндрических волн. Они брали метрику
- ds2 = г2'-2* (dp2 - с2 dt2) + pV2* tfcp2 + е2* dz2, (7.59)
где функции 1 и ф зависят только от р и t. Матрицу, определяемую выражением (7.59), можно подставить в уравнения для свободного пространства
Rvl, = 0. (7.60)
откуда следуют (точные) уравнения, которым должны удовлетворять ф и -j;
= (7.61)
7. P== Pl(tXp)2-M-2(ЬЯ- (7.62)
T,/ =-с----(7-63)
Уравнение (7.61) представляет собой линейное волновое уравнение в цилиндрических координатах. Решение (7.G1), описывающее расходящуюся волну, имеет вид
ф - A [Ju (^p-) cos + Nu ( 7-) sin ,„.' J. (7.61)
9 Дж. Вебер 130
Глава 7
Используя (7.62) и (7.63), получаем теперь
+? Kj' (?) ) + ('• (?) Г+(". )!+т Л+
+{"'-)J" (-Т-) - "»(т) N" (-г)!cos 2"' +
+ (7.65,
Штрих означает дифференцирование по шр/с. Последнее слагаемое в (7,65) линейно растет со временем. Первоначально предполагалось, что оно отражает кумулятивное влияние на метрику со стороны непрерывного излучения энергии. Розен [10] выступил против такого истолкования, основываясь па том, что при излучении энергии цилиндрической системой вблизи начала координат потеря энергии сделала бы невозможной периодичность во времени функции ф, задаваемой в форме (7.64). Присутствие в решении (7.65) функции N0 приводит к сингулярности на оси симметрии. Мардер заметил, что невозможно сшить решение для свободного пространства (7.65) и решение вблизи начала координат в области, содержащей массу, физически приемлемым образом, так как в этой области плотность неизбежно изменит знак. Он считает, что связанные с (7.65) трудности вызываются включением поля на неограниченно долгий срок.
Больший интерес представляет случай импульса излучения. Линейность уравнения (7.61) позволяет нам пользоваться интегралом Фурье. Здесь мы кратко изложим работу Вебера и Уилера [11]. Фурье-представление функции ф мы выберем в виде
= (7.66)
который позволяет непосредственно производить интегрирование, необходимое для построения ф(?) и Тогда
