Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вебер Дж. -> "Общая теория относительности и гравитационные волны" -> 44

Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.

Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны — Москва, 1962. — 271 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnostiigravvolni1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 81 >> Следующая


Если наблюдатель покоится, а тензор Римана относится к типу I, то / г з

(V^O--''

27

SaX2W-HZSllV+

о5» * + v % 0X+L

* + 2j

"х+2

Г)

¦«vielte)- ^із5>

X=I J

Для тензора Римана типа II

= ± t«a<" 425;+1бЗ^З;+223,^+225Д;) + 4ао

- W + Se2 (3,° + 8/) (V ~ V) Jtzr ¦ (7-136)

15. Другие волновые решения из типа Il Петрова

Тетрада, называемая иногда 4-репером, или тетраподом (quadruped, tetrapod, vierbein, four nnple) представляет собой совокупность четырех единичных векторов, которые могут быть введены в любой точке и определяют локально лорен-цову систему'). Из этих векторов три простраиственно-

') Переход к локально лоренцовой системе координат х 1 можно совершить с помощью преобразования dx'" = ^dx* в случае, когда ,

іл\ дх а OX 1 (д-v V1 „«З

S ' =^-T-IT -T-T- g =3A(K)^(S)V = O V Ox дх 152

Г лана 7

(7.138)

подобны и перпендикулярны друг другу, а также направлению времени, определяющему четвертый вектор. Векторы такой тетрады обычно записывают как ^a,1*, где и. — векторный индекс, а (а) задает нумерацию этих векторов.

Перес нашел другой класс волновых решений уравнений R^4 = 0, обладающий меньшей симметрией, чем плоские и цилиндрические волны. Его метрика имеет вид

— ds2 = dx2-\-dy2-{~dz2-{~2F(x, у, z-\-x) (dz + dz)2 — dx2.

(7.137)

Уравнения поля сводятся к следующей системе:

я» - Я„ = Я„ = F. хх+F. уу = о.

и поэтому удовлетворяются, если F — гармоническая функция. Тетрада ортонормированных векторов вводится с помощью соотношений

W1 = O+/*. 0^

1^ = ( 0, cosa, sin a, 0 ),

).(2,^ = ( 0, —sin a, cos a, 0 ),

Iw* = ( F, 0 0 1 — F),

где tg 2a ~ Fi xy/F xx. Отличные от нуля компоненты тензора Ray 5 в системе отсчета нашей тетрады равны

O = R^i = -RvM = V KJFTfTJ 139)

при р. и V, рапных только 3 или 0. Поэтому данный класс метрик относится к типу И Петрова. В случае

F = (X2 — у2) sin (z -Ь т), о~2 sin (z + г) (7.140)

мы имеем плоскую волну. Решение и виде волнового пакета имеет вид

/-': -ху(л:24-у2)""2ехр {[b2 — (z + x)2]""2} при |г + х|<Л, F = 0 при 12 + " і > Ь.

¦ (7.141)

Мы покажем теперь, что все представляющие физический интерес волновые решения уравнений R1^ = 0 приближаются I риоатационные волны

153

к типу II. Любое представляющее физический интерес волновое решение, по-видимому, возникает в случае, когда имеет место локализованное распределение материи, и поэтому будет плоским па больших (но ие в космологическом смысле больших) расстояниях. Отсюда следует, что к нему применим анализ, приведенный в п. 2 гл. 7. Подчеркиваем, что наше определение локально плоской волны предполагает g = = JTTilv^=O, где индексы і и j соответствуют двум направлениям тетрады, перпендикулярным направлению распространения волны. Десять компонент тензора Римана (7.27) можно записать в каноническом виде, согласно правилу (7.124), как

Rab =

0 0 ООО 0

„1 1 „ 1 1 и —Y її "2^23,11 и — 2~ ю —"2 Ki

п 1 1 п 1 1

и "2 Й23, и 2 ^22,11 2 ^22,10 ~2 ^23, 10

0 0 0 0 0 0 „1 1 „ 1

и--2 ^23, 10 2 S221 10 и 2 ^22, 00 2 ^23'

„1 InI 1

и — 2 ^33,10 "2"^23,10 2 ^23.00 2 ^33,

(7.142)

Величины ^r23ll0 и ^23, до можно устранить соответствующим выбором ориентации четверки векторов отсчета. Из (7.142) видно, что рассматриваемая метрика относится к типу 11, причем а =р = 0. Отсюда следует, что все представляющие физический интерес гравитационные полны на больших расстояниях обладают метрикой, стремящейся к пулевому типу II Петрова с a = p = u. Так как (7.142) строго справедливо безотносительно к степени приближения, то это значит, что мы строї о показали принадлежность тензора Римана к нулевому типу II Петрова но всех точках, где гравитационная волна является локально плоской [26].

Робинсон и Траутмаи [27| дали несколько точных сферически симметричных решений, описывающих волны и соответствующих тензору Римана, снова стремящемуся к типу II 154

Глава (і

Петрова (случай нулевого поля) на больших расстояниях. Их метрика имеет вид

ds2 = 2dр da + (tf — 2Яр — do2 —

-р2р-2 № + q,, do)2 + (dfi + <7,6 dan

Здесь функция т. зависит только от о, а р и q зависят от а, Ч п Tj. Величина H равна

н = p~lp,,+P {p~xq), E *—рч (р~1X E^;

К означает гауссову кривизну (см. гл. 3) на поверхности р = 1, о = const:

К = р2№р)Л^(\пр)іт]. В случае такой метрики уравнения R^ = О сводятся к

Ч.g + Ч, щ = О, К, ц -4- к, щ = ^-»(т, „ - ЗЯ/л).

Тензор Римана можно записать в виде

Яц»«? = P-3^11V0t?+ T2IHliVa3 + P-WllVap.

где D, III и N суть тензоры соответственно типов I (вырожденный), III и Il (нулевой). Они постоянны в ковариант-ном смысле на любом луче, на котором о, ? и г\ постоянны.

Полученные решения относятся к вырожденному типу I, если т.Ф О, а К не зависит от \ и этот случай можно привести к случаю, когда т = 1, р — ch [к и ^ = 0. Величина (а— либо действительная, либо чисто мнимая постоянная. При действительных отличных от нуля [А получается решение Шварцшильда.

При (К, ^)2 -(- (K1 J2 ф О и Pj1V = О решения относятся к ненулевым полям типа II или к полям типа III, причем тип III имеет место при т. = 0. Если же т. = 0 и К не зависит от f и TJ1 то решение относится к типу II и будет нулевым, либо плоским, причем случай плоского пространства определяется условием I риоатационные волны
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed