Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
c2i =х + %у, '
с12=х- iy,
cii = ^
С22 = —^ + cf
Эти новые переменные, как и сд/ь претерпевают при группе (20.2) линейное преобразование. Так как они вещественны и это свойство сохраняется при нашем преобразовании, то коэффициенты преобразования также вещественны.
Далее, квадратичная форма
2.2 2 2 2 clic22 - c12c2i = ct ~Z ~X -У
инвариантна и поэтому речь идет о вещественном преобразовании Лоренца для переменных х, у, z, t. Среди получаемых таким образом преобразований Лоренца находятся и все пространственные вращения, так как если в (20.1) и (20.2) специально выбрать 5 = а, 7 = — /3, то 2ct = + с22 остается инвариантным. Преобразование (20.1) явля-
ется унитарным и поэтому и и и (или и и и преобразуется как и2, —щ, а форма (20.4) преобразуется как
11 ( ч 1 2 22 1 1 12 2 2ч
— С12ии + (с-Q — C22)UU + C2\UU = 2(CoUU + C\UU + C2UU),
т. e. переменные x, у, z претерпевают те преобразования, которые были рассмотрены в § 16. Но среди наших преобразований Лоренца встреча-
(20.5)
§ 20. Представления группы Лоренца
107
ются также и следующие:
х = ж,
(20.6)
С12 = С12>
у' = У,
z' = i(a2 + a~2)z + i(a2 - a~2)ct, *
C2i = C2i’
ci' = — a 2).г + + a 2)ci,
при которых новая система (ж', yf, z', f') движется в направлении z с
можно составить все «собственные преобразования Лоренца», т. е. все те преобразования, которые не меняют вращательного соотношения между пространственными осями1. Поэтому наши преобразования дают все собственные преобразования Лоренца: основная группа Лоренца является представлением группы С2.
Единственные преобразования (20.1), дающие тождественные преобразования группы Лоренца, определяются матрицами
Поэтому обратно группа С2 является двузначным представлением собственной группы Лоренца.
2. Отражение s и полная группа Лоренца
Согласно вышеизложенному, собственная группа Лоренца как линейная группа с двумя переменными может быть представлена двузначно. Но эти представления не могут быть дополнены без увеличения числа переменных до представления полной группы Лоренца, которая получается из основной группы прибавлением отражения s
Q4 — 2
любой скоростью v = с—------------. Из этого преобразования и вращений
сг + 1
и
х' = —ж, у' = —у. z' — —z, tf = t.
ХТ. е. при которых «правая» система координат xyz не переходит в «левую» x'y'z'. (Прим. ред.).
108
Глава III
Так как отражение s коммутирует со всеми чисто пространственными вращениями, то и представляющая матрица S должна была бы коммутировать со всей унитарной группой U2; так как, однако, U2 является неприводимой системой преобразований, S должна быть кратна единичной матрице. Поэтому S должна коммутировать со всей группой С2. Но отражение s переводит преобразование Лоренца (20.6) в другое, с противоположной скоростью движения системы отсчета; следовательно, матрица S не должна коммутировать с матрицами, относящимися к (20.6). Мы приходим, таким образом, к противоречию.
Можно, однако, получить представление полной группы Лоренца
при помощи четырех переменных, если к переменным и, и добавить
i 2
еще пунктированные переменные и, и, рассматривая их, как новые переменные, а не как комплексно-сопряженные с А, и. Как было указано
i 2 2
выше, при чисто пространственном вращении и, и преобразуются как и
и —и. Положим и = г;, и = — v\ тогда новые базисные векторы v и v при
2 i i 2
пространственном вращении преобразуются точно так же, как и и и и. Преобразования s, коммутирующего со всеми вращениями, мы попробуем представить в следующем виде:
su = iv, sv = iu (A = 1, 2). (20.7)
л л
Билинейная форма (20.4) или
112 2
cliuv ~ Ci2UV + c2iuv ~ C22UV
2 12 1
при преобразовании s (20.7) переходит в
112 1 c22uv + c12uv — C2\UV — CX\UV
2 i 2 2
Поэтому
cii — c22’ c22 — Cli’ c2i — — C12’ ci2 — _C2i’ а это и есть, согласно (20.5), требуемое отражение
х' = -ж, у' = -у, z1 = -z, tf = +t.
Каждое несобственное преобразование Лоренца может быть представлено в виде произведения собственного преобразования Лоренца а
§ 20. Представления группы Лоренца
109
и отражения s. Если теперь с каждым таким произведением as мы свяжем произведение соответствующих матриц, то получим (двузначное) представление полной группы Лоренца для четырех переменных. Представление (20.7) отражения s имеет еще тот недостаток, что его квадрат равен не Е, а —Е, что связано с двузначностью представления. Этот недостаток устраняется без потери свойств представлений, если умножить представляющие матрицы всех несобственных преобразований Лоренца на —г, т. е., например, вместо (20.7) принять
