Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
y/(J + M)l(J-M)l
Эти v образуют одновременно, согласно § 16, нормированную ортогональную систему.
Совершенно таким же образом доказываем, что, когда J равно целому числу /, представление 2D/, определенное формулой (17.8), совпадает с представлением, выраженным с помощью шаровых функций /-го порядка Y^m\ В самом деле, число последних равно 21 + 1 и поэтому наибольшее собственное значение оператора Lz, т = /. Итак, шаровые функции преобразуются согласно неприводимому представле-
нию 2D/, т. е. мы можем выбрать нормирующий множитель шаровых функций У/Ш) таким образом, чтобы для них точно выполнялись уравнения (17.8). Отсюда также следует, что 2D/ является однозначным представлением1. Например, функции г У^ = — (ж + гг/), г У^ = л/2 z,
rY^~^ — х — %у преобразуются по представлению H)i.
Наконец, докажем следующее:
Каждое неприводимое представление эквивалентно одному из представлений S)j, определяемых в формуле (17.8). Действительно, пространство %j+ъ построенное в пространстве представлений, в случае неприводимости должно совпадать со всем пространством.
Вышеприведенное исследование дает возможность в каждом случае найти разложение любого представления 2) на неприводимые S)j. Для этой цели надо только установить в рассматриваемом пространстве собственные векторы оператора Lz и распределить соответствующие собственные значения по их величине. Если J наибольшее входящее сюда целое или половинное собственное значение, то в 2) содержится представление S)j, в пространстве которого по одному разу содержатся собственные значения J, J — 1, ... , — J. Среди оставшихся собственных значений мы ищем наибольшее значение J', выделяем представление H)j/ и т. д., пока не будут размещены все собственные значения.
хДля нецелых значений J представление 2)j неоднозначно, так как при пово-те (0, ( дает —1.
роте (0, 0, 7) вектор vj умножается на е *J7, что при 7 = 27т и J = целое + i
92
Глава III
§ 18. Примеры и применения
1. Приведение произведения представлений группы вращений х S)j/
Пространство представления обозначим через (iij, , U-j), а пространство представления H)j/ — через (гу, ... , ^-j')* Базисными векторами представления х S)j/ являются при этом все произведения umvm/. Произведение umvm/ при вращении 0, 0, 7 вокруг оси z умножается на e-*(m+m )7 и поэтому оно относится к собственному значению М = т + т' оператора Lz. Возможные значения М выписаны в следующей таблице
(ш = j) М = j + j1, j +j’ -1, ... ,j - j1;
(m = j - 1) M = j + j' - 1, j + j’ - 2, ... , j - j' - 1,
(m = j - 2) M = j + j' - 2, ... , j - j' - 2,
(m - -j) M - -j + j', ... , -j - j'.
Мы можем принять j ^ jf. При этом мы видим, что наибольшее значение М = j+jr появляется один раз, соседнее меньшее М = j+j' — 1 два раза и т. д. все время с приращением на единицу до значения М — j — j', соответственно появляющегося (2jf + 1) раз. Все меньшие значения М до М = — j + jf появляются точно таким же образом, т. е. (2j' + 1) раз. На отрицательное значение М в дальнейшем мы не будем обращать внимания.
По правилу §17 следует: представление отвечающее наи-
большему собственному значению, содержится в рассматриваемом представлении х S)j/ один раз, его пространство представлений заключает по одному разу все собственные значения М — j + j', ...,
— После их вычеркивания остается наибольшее значение
М = j + j' — 1, которое теперь входит один раз. Следовательно, представление 1 тоже появляется один раз [собственные значе-
ния j + j' — 1, j + j' — 2, ... , — (j + j' — 1)]. Продолжая, получим, в конце концов, представление охватывающее все оставшиеся эле-
менты. Поэтому мы имеем
S)j х S)j/ = + 2)j+j/_ 1 H-------b !D|j_j/|. (18.1)
Введение «абсолютных значений» j — j' показывает, что формула симметрична относительно j и j' и поэтому имеет место также и
§ 18. Примеры и применения 93
для j' > j. Например, имеем
!Эо х % = !Dj,
T>i х 2)i = 2)г + T>i +
3ix3i=D л +Di.
2 2 2
Для того чтобы осуществить приведение представления ?)j х ?)j/ в явном виде, мы должны действительно указать в пространстве произведений umvm/ такие векторы wm, которые преобразуются по S)j (J = j + j', j + j'- !)•••)• в этом случае мы пишем Um, Vm>, вместо ит, vm/, wm и по (17.10) полагаем
i+m j — m i'+m' j' — m'
jj и1 u2 у V1 V2________
л/(j + m)\{j - m)'.’’ “ ^(j' + - m')\
Теперь построим для J = j + j' — Л (Л = 0, 1, 2, ...) выражение
A = {U\V2 — u2v1)x(u1x1 + ^2^2)2j_A(Vi^i + v2x2)2^ _A и докажем, что коэффициенты
