Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
л л
su = v, s и = и, л л
что мы и будем делать в дальнейшем.
i 2
Вектор пунктирного пространства а^и + а^щ выраженный через
новые базисные векторы v = —и, v = +i, обладает компонента-
i 2
ми а1 = — а2, а2 = аОбозначение соответствует условию (20.3). Ком-
12'
поненты ai, а2, а1, а2 произвольного вектора а\и + а2и + a1 v + a2v часто
i 2
обозначают ai, а2, «з, оц, но это обозначение не так ясно показывает характер их преобразования.
Полезно отметить, что компоненты ai, а2, а%, а<± преобразуются совершенно иначе (более того, неэквивалентно), чем компоненты мирового тензора (ж, у, z, t). Помимо двузначности преобразования av, при заданном преобразовании Лоренца, существенное различие заключается в том, что лоренцовы преобразования мирового тензора образуют неприводимую систему, тогда как соответствующие преобразования величин аи распадаются на две подсистемы, соответствующие инвариантным подпространствам (и, и) и (г;, v).
i 2
3. Спинорный анализ
Способ записи ко- и контраградиентных векторов с помощью верхних и нижних значков имеет, как известно, то преимущество, что инвариантность тех или иных соотношений бросается в глаза. Например, система уравнений
а\ = 'YjCxp.W
инвариантна относительно группы С2, так как сдд, т. е. коэффициенты (20.4) преобразуются так же, как коэффициенты сдсд развернутой
билинейной формы (с^и + c2u)(ciu + с2и).
110 Глава III
Это значит, что матрица С = (сдд) преобразует бинарный вектор вида (ft1, ft2) в вектор вида (ai, аг). Обратная матрица, умноженная на инвариант \С\ = CiiC22 — т. е.
С' = \C\C~1 = ( _С22
х ^21 cii
естественно, преобразует обратно бинарный вектор вида (ai, аг) в вектор вида (ft1, ft2).
Согласно (20.5), имеем
С — I °п ^12 1 ________ I z + ct х — iy
c2i C22 J \ x + iy -z + ct
и поэтому
—z + ct — (ж — iy)
^ 1 —(x + iy) z + ct
Введем «спиновые матрицы» Паули
0 1 ^ = СГЖ; ( ; _п ) = «У’ ( П -1 ) = ^ (20-8)
(20.9)
1 0 ) ~ ж’ ^ г 0 ) ~ ^0-1
и обозначим единичную матрицу через тогда
С = Жбтж + у а у + zaz + ctcro,
С" = -ж<тж - - 2^ + ctcro.
Обозначим переменные ж, г/, z, cf через ж1, ж2, ж3, ж0, матрицы (7Ж, (iy, dz, t7o через сгх, бт2, и элемент матрицы а и через dkxfi
(к = 1, 2, 3, 4; Л = 1, 2; fi = 1, 2), тогда
сла = 5>*Ад- (20.10)
Полученный результат означает, что каждое уравнение вида
хк<ткх(1Ь1Л
к jjb
остается инвариантным при всех преобразованиях Лоренца, если а\ и Ъv преобразуются согласно вышеописанному двузначному представлению группы Лоренца, а хк преобразуется по группе Лоренца, тогда как чисто числовые величины, dkXji пРи преобразовании не меняются.
§ 20. Представления группы Лоренца
111
Если мы примем <т[ = —сгх, cr'z = —(гу, сг'3 = —az, сг'0 = сто, то всякое уравнение вида
= (20Л1)
к X
также оказывается инвариантным относительно всех собственных преобразований Лоренца.
Кроме того, пара уравнений (20.10), (20.11) остается инвариантной при отражении s, преобразующем а\ в аА, Ъц в +6^, хк в — хк (к = 1, 2, 3), так как при таком отражении (20.10) переходит в (20.11), и обратно.
Только что описанные свойства инвариантности, естественно, сохраняются при замене хк любым другим выражением, преобразующимся как компоненты мирового вектора, как, например
д_ д_ д_ _\д_ дх^ ду ’ dz' с dt
4. Бесконечно малые преобразования
Мы определим теперь все дифференцируемые представления группы Лоренца с помощью метода бесконечно малых преобразований. Каждое собственное представление собственной группы Лоренца является одновременно собственным представлением группы t2, и обратно; поэтому мы сначала будем искать представления С2. В качестве матрицы преобразования С2 мы возьмем
д_{ а 0 \ — f l + ?*i+ ia2 с*з + m4 \ ^2q ^2)
” V 7 S J ~ \ а5 + ш6 5 J ’ \ • )
где
_ 1 + /fry _ 1 + (с*з + ш4)(а5 + ш6) а 1 + ai + ia2 ’
и в качестве параметров вблизи единичной матрицы — вещественные переменные c*i, ... , а§. Мы определим, как и в § 17, бесконечно малые преобразования Д, ... , Д произвольного представления так, чтобы они удовлетворяли перестановочному соотношению вида