Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ван-дер Вандер Б.Л. -> "Методы теории групп в квантовой механике" -> 41

Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.

Ван-дер Вандер Б.Л. Методы теории групп в квантовой механике — И.: РХД, 1999. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): metodteoriigrupvkvantovoymehanike1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 85 >> Следующая


л л

su = v, s и = и, л л

что мы и будем делать в дальнейшем.

i 2

Вектор пунктирного пространства а^и + а^щ выраженный через

новые базисные векторы v = —и, v = +i, обладает компонента-

i 2

ми а1 = — а2, а2 = аОбозначение соответствует условию (20.3). Ком-

12'

поненты ai, а2, а1, а2 произвольного вектора а\и + а2и + a1 v + a2v часто

i 2

обозначают ai, а2, «з, оц, но это обозначение не так ясно показывает характер их преобразования.

Полезно отметить, что компоненты ai, а2, а%, а<± преобразуются совершенно иначе (более того, неэквивалентно), чем компоненты мирового тензора (ж, у, z, t). Помимо двузначности преобразования av, при заданном преобразовании Лоренца, существенное различие заключается в том, что лоренцовы преобразования мирового тензора образуют неприводимую систему, тогда как соответствующие преобразования величин аи распадаются на две подсистемы, соответствующие инвариантным подпространствам (и, и) и (г;, v).

i 2

3. Спинорный анализ

Способ записи ко- и контраградиентных векторов с помощью верхних и нижних значков имеет, как известно, то преимущество, что инвариантность тех или иных соотношений бросается в глаза. Например, система уравнений

а\ = 'YjCxp.W

инвариантна относительно группы С2, так как сдд, т. е. коэффициенты (20.4) преобразуются так же, как коэффициенты сдсд развернутой

билинейной формы (с^и + c2u)(ciu + с2и).
110 Глава III

Это значит, что матрица С = (сдд) преобразует бинарный вектор вида (ft1, ft2) в вектор вида (ai, аг). Обратная матрица, умноженная на инвариант \С\ = CiiC22 — т. е.

С' = \C\C~1 = ( _С22

х ^21 cii

естественно, преобразует обратно бинарный вектор вида (ai, аг) в вектор вида (ft1, ft2).

Согласно (20.5), имеем

С — I °п ^12 1 ________ I z + ct х — iy

c2i C22 J \ x + iy -z + ct

и поэтому

—z + ct — (ж — iy)

^ 1 —(x + iy) z + ct

Введем «спиновые матрицы» Паули

0 1 ^ = СГЖ; ( ; _п ) = «У’ ( П -1 ) = ^ (20-8)

(20.9)

1 0 ) ~ ж’ ^ г 0 ) ~ ^0-1

и обозначим единичную матрицу через тогда

С = Жбтж + у а у + zaz + ctcro,

С" = -ж<тж - - 2^ + ctcro.

Обозначим переменные ж, г/, z, cf через ж1, ж2, ж3, ж0, матрицы (7Ж, (iy, dz, t7o через сгх, бт2, и элемент матрицы а и через dkxfi

(к = 1, 2, 3, 4; Л = 1, 2; fi = 1, 2), тогда

сла = 5>*Ад- (20.10)

Полученный результат означает, что каждое уравнение вида

хк<ткх(1Ь1Л

к jjb

остается инвариантным при всех преобразованиях Лоренца, если а\ и Ъv преобразуются согласно вышеописанному двузначному представлению группы Лоренца, а хк преобразуется по группе Лоренца, тогда как чисто числовые величины, dkXji пРи преобразовании не меняются.
§ 20. Представления группы Лоренца

111

Если мы примем <т[ = —сгх, cr'z = —(гу, сг'3 = —az, сг'0 = сто, то всякое уравнение вида

= (20Л1)

к X

также оказывается инвариантным относительно всех собственных преобразований Лоренца.

Кроме того, пара уравнений (20.10), (20.11) остается инвариантной при отражении s, преобразующем а\ в аА, Ъц в +6^, хк в — хк (к = 1, 2, 3), так как при таком отражении (20.10) переходит в (20.11), и обратно.

Только что описанные свойства инвариантности, естественно, сохраняются при замене хк любым другим выражением, преобразующимся как компоненты мирового вектора, как, например

д_ д_ д_ _\д_ дх^ ду ’ dz' с dt

4. Бесконечно малые преобразования

Мы определим теперь все дифференцируемые представления группы Лоренца с помощью метода бесконечно малых преобразований. Каждое собственное представление собственной группы Лоренца является одновременно собственным представлением группы t2, и обратно; поэтому мы сначала будем искать представления С2. В качестве матрицы преобразования С2 мы возьмем

д_{ а 0 \ — f l + ?*i+ ia2 с*з + m4 \ ^2q ^2)

” V 7 S J ~ \ а5 + ш6 5 J ’ \ • )

где

_ 1 + /fry _ 1 + (с*з + ш4)(а5 + ш6) а 1 + ai + ia2 ’

и в качестве параметров вблизи единичной матрицы — вещественные переменные c*i, ... , а§. Мы определим, как и в § 17, бесконечно малые преобразования Д, ... , Д произвольного представления так, чтобы они удовлетворяли перестановочному соотношению вида
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed