Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
момент импульса обладает степенью вырождения 2j + 1 точно так же, как и в «бесспиновом» случае момент импульса Ш обладает степенью вырождения 21 + 1.
Вследствие взаимодействия спина с орбитальным моментом импульса Ш оба терма j = I + 1/2 и j = I — х/2 разделяются. Строгое обоснование этой «векторной схемы» мы дадим далее. Здесь отметим только, что векторная схема подобного вида качественно хорошо объясняет мультиплетное расщепление сложных спектров.
Ланде эмпирически нашел, что термы j = I ±г/2 в слабом магнитном поле распадаются на 2j +1 равноотстоящие компоненты, смещение
1 Между прочим, это предположение подтверждается тем, что ион серебра Ag+ (так же, как и Na+, К+ и т. д.) не обнаруживает никакого эффекта Зеемана.
118
Глава IV
которых относительно невозмущенного терма равно
gx$)zm ^ ’ т = J '' ‘ ’ -J") ' ^21Л^
В случае I = 0, когда весь момент импульса определяется спином, га = ±У2 и g = 2. Произведения га = ±У2 на h дают возможные значения ^-компоненты момента импульса и множитель g = 2 опять подтверждает, что моменту импульса Нт соответствует магнитный момент 2хт.
Мы приходим, таким образом, к следующим гипотезам.
1) Электрон обладает собственным механическим моментом импульса или спином i/i, компоненты которого в любом фиксированном пространственном направлении могут принимать значения только d= i/i.
2) Энергетическое действие спина, пока не введено внешнее магнитное поле, мало по сравнению с действием электрического заряда.
3) Спину i/i соответствует магнитный момент к.
§ 22. Волновая функция «вращающегося электрона»
Попробуем перевести эту гипотезу на язык волновой механики. Существование спина кинематически означает, что электрон не просто материальная точка с тремя только степенями свободы ж, у, z, но что к ним еще прибавляется (по крайней мере) одна степень свободы спина. В качестве таковой выберем компоненту спина по оси z, выраженную
в единицах ^Н. Эта ^-компонента является переменной az, которая по
первой гипотезе предыдущего параграфа может принимать только значения + 1 и —1. Согласно Паули1, мы введем волновую функцию
ф(х, у, 2?, <TZ) = ^(<7, az),
где координаты q могут меняться во всем пространстве, a az принимает только значение +1 и —1. Эта функция «со спином» равноценна паре функций
фг = ip(q, 1); ф2(q, -1)
1 Pauli, W. Z. f. Physik. Bd. 43, S. 601 (1927).
§ 22. Волновая функция «вращающегося электрона»
119
или, как еще лучше сформулировать, она является волновой функцией с двумя «компонентами» ф\, Ф2, являющимися обычными функциями от координат.
В статистическом толковании волновой механики интеграл f Ф1Ф1 dv, взятый по некоторой области пространства, пропорционален вероятности того, что электрон со спином, направленным параллельно положительной оси z, находится в этой части пространства. Точно так же J Ф2Ф2 dv пропорционален вероятности того, что в рассматриваемой области имеется электрон с противоположно направленным спином, тогда как сумма
дает вероятность того, что электрон вообще находится в этой области.
Две компоненты ф\, ф2 функции ф можно рассматривать как компоненты вектора в двухмерном векторном пространстве — «спиновом пространстве». Постоянные векторы этого пространства являются парами чисел, следовательно, функциями только от спиновых координат. Введем теперь в этом векторном пространстве два каких-нибудь постоянных базисных вектора щ, U2, тогда при их помощи можно выразить все векторы
Коэффициенты могут зависеть от пространственных координат q. Они получаются из ф\, ф2 путем линейного преобразования с постоянными коэффициентами.
Согласно второй гипотезе §21, волновое уравнение для каждой ф-компоненты ф±, Ф2 или и>2 в первом приближении должно иметь такой же вид, как и уравнение для шредингеровской функции ф
Во втором приближении оператор Н содержит небольшие возмущающие члены, связанные со спиновой координатой а. Следовательно, в первом приближении можно подставить в (22.1) для ио\ и и>2 две произвольные собственные функции уравнения Шредингера, принадлежащие к одному и тому же собственному значению Н. Число линейно-независимых ф для каждого уровня энергии теперь увеличивается вдвое: если ф^\ ... , ф^ бесспиновые собственные функции для собственного значения Е, то
J(V’iV’i + ^2^2) dv
Ф = UJiUi + LJ2U2.
(22.1)
HoJt, = E<jJv.
(22.2)
120
Глава IV
являются 2h линейно-независимыми собственными функциями того же уровня, которые могут переходить друг в друга при учете спинового возмущения. Это удвоение степени вырождения находится в согласии с хорошо известными опытными данными о дублетном расщеплении спектральных термов щелочных металлов; поэтому нет никаких оснований вводить еще степени свободы, кроме az.