Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ifllv Ivlfl — / J I(TCUiV
а
112
Глава III
являются вещественными числами, зависящими только от построения группы, и поэтому могут быть определены из какого-нибудь представления, например, из матриц самого С2. Для этого представления по (20.12) имеем
Получаем следующие перестановочные соотношения с вещественными коэффициентами1
hh ~ hh = 2/3 hh ~ hh = 2/4 hh ~ hh = 2/4
/1/5 — /5/1 = —2/5 hh — hh = —2Iq hh — hh = —2Iq
/3/5 — /5/3 = /1 hh — hh = /2 hh — hh = h
hh ~ hh — —2/3 hh ~ hh — 0
hh — hh = 2/5 /3/4 — /4/3 = 0
/4/6 — hh = —Л hh — hh = 0.
Эти соотношения должны также иметь место для любого представления. Их можно упростить введением новых операторов
/1 + %h — 4AZ; h + ih — 2 Av\ /5 + Hq = 2 Aq\ h — ih = 4Д*; /3 — H4 = 2Bp\ h ~ ih = 2i?g.
Вычисление показывает, что все А и В коммутируют между собой AhBk - BkAh = 0 для h, к = z, р, q
и далее
A-zAp ApA-z — Ар Л BzBp BpBz — Вр Л AzAq - AqAz = -Aq \ BzBq - BqBz = -Bq \ . ApAq - AqAp = 2Az ) BpBq - BqBp = 2Bz )
Как для А, так и для В мы имеем такие же перестановочные соотношения, как (17.5). Поэтому остаются в силе все выводы, сделанные
хЧто коэффициенты должны быть вещественны, следует из общих соображений § 17. Только при условии вещественности коэффициенты определяются однозначно.
§ 20. Представления группы Лоренца
113
нами из (17.5). Если vj вектор, относящийся к наивысшему собственному значению J величины Az, то имеется целый ряд собственных векторов vm (~J ^ М ^ J), преобразующихся с помощью операторов А^ по (17.8) (с Ak вместо L&). Совокупность всех vj, относящихся к собственному значению J, является линейным пространством, инвариантным относительно В&, так как последнее коммутирует с Az. В этом пространстве можно по тому же принципу найти ряд векторов vjm' (~Jf ^ М' ^ J'), преобразующихся с помощью В\~ по (17.8); каждый такой вектор vjm' при повторном применении оператора Aq дает целый ряд векторов vmm' (~J ^ М ^ J). Таким образом мы находим (2 J + 1)(2J' + 1) векторов vmm1, для которых имеют место соотношения
ApVMM' = л/(J - M)(J + М + 1)^м+1,м/
AqVММ’ — \/(J + M)(J - М + 1)vm-1,M'
Azvmm< — Mvmm1
BpVMM' = л/ (J' — + M' + \)vM ,M' +1
BqVMM' = \J(^ + - Mr + 1)vm,M'-1
Bzvmm' = M'vmm'
и которые определяют неприводимое представление группы Неприводимость легко получается из тех же соображений, которыми мы пользовались для этой цели в § 17. Если первоначальное представление неприводимо, то vmm1 должны обязательно заполнять все пространство; поэтому каждое неприводимое представление эквивалентно заданному (20.13) представлению Эjj> .
Далее, легко построить систему величин, преобразующихся так же, как и ?)jj/. Для этого мы должны только принять
1j+m2j+m i r+M’lr+M'
VMM' —
(20.13)
y/(J + M)l(J-M)l y/(J' + - M')\
Произвольная линейная комбинация этих vmm' дается выражением
Хр v р а т C\p...up&...rUU . . . UUU . . . U,
где тензор с симметричен относительно 2 J индексов Л, ... , v и 2 J' индексов р, ... , т.
Следовательно, эти тензоры с образуют ряд величин, которые при применении группы С2 претерпевают неприводимую группу преобразований, и эти величины являются единственными (с точностью до эквивалентности), обладающими этими свойствами.
114
Глава III
Я не буду здесь останавливаться на доказательстве (впрочем, не очень трудном), что каждое представление полностью приводимо, и поэтому все возможные величины могут быть написаны в виде сумм величин вышеописанного вида.
В вышеизложенном исследовании определены все виды «величин», линейно преобразующихся при применении (собственной) группы Лоренца. Простейшие величины являются инвариантами или скалярами; далее следуют бинарные векторы (ai, а2) и (aj_, а2) [контраградиент-ные векторы по (20.3) преобразуются одинаково с коградиентными], далее — тензоры сдд, которые по (20.4) эквивалентны мировому тензору (четырехмерному вектору); потом симметричные тензоры с\ц и сх^ с тремя компонентами и т. д.
Все эти величины обозначают собирательным именем «спиноров», так как они играют роль в теории «вращающегося» электрона (электрона со спином).
Между всеми видами спиноров можно установить соотношения, инвариантные относительно преобразования Лоренца, в которых, как обычно подразумевается, производится суммирование его по верхним или нижним индексам (которые либо оба пунктированы, либо оба не-пунктированы). При этом имеют значение также те определенные численные спиноры, все компоненты которых в отдельности инварианты. Такие спиноры нам уже известны, это определенные (20.7) величины (?к\ц (собственно говоря, не чистые спиноры, так как индекс к меняется не от 1 до 2, а от 0 до 3 и преобразуются они подобно мировым тензорам). Эти величины всегда входят в формулы [как в (20.10)] как связывающие члены между спинорами и векторами. С их помощью можно записать (20.4) в виде
