Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ван-дер Вандер Б.Л. -> "Методы теории групп в квантовой механике" -> 46

Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.

Ван-дер Вандер Б.Л. Методы теории групп в квантовой механике — И.: РХД, 1999. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): metodteoriigrupvkvantovoymehanike1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 85 >> Следующая


и применим их к произведению u>(q)u\. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем

S = ХЕ.

И т. д.

(22.5)

1х(ш{д)и\) = {Ixu{q))ux + u){q)lxu\,

или в других обозначениях

где является оператором бесконечно малого вращения, применяемого только к Lj(q), т. е.
§ 22. Волновая функция «вращающегося электрона»

123

тогда как оператор бесконечно малого вращения, действующий только на г^д; выражение для него получается из (17.8) при J = ^

rjUl = -|шь Гуиг = + |ш2, = -|ш2,

(22.6)

= -^««1, IyU2 = -^Ml, I" U2 = +^Ш2.

Воспользуемся теперь для компонент hMx, НМу, ЙМ* момента импульса //Ш1 оператором /^, умноженным на hi,

+ S*; = г7^; 5* = г/".

Первая часть ? вектора Ш? является моментом импульса движения по орбите; вторая — © является спином. Добавление ее оправдывается тем, что все три компоненты Мж, Му, Mz, очевидно, коммутируют с любым оператором энергии, обладающим центральной симметрией, откуда следует закон сохранения для всех этих компонент. Так как этот закон сохранения лежит в основе всех измерений момента импульса, то этого одного достаточно для оправдания добавки к ШТ.

Компоненты Мж, Му, Mz оператора Ш? совпадают с операторами г/ж, Ну, Hz, употреблявшимися при выводе представления H)j и обозначавшимися там через Lx, Ly, Отсюда следует, что в случае совокупности собственных функций, преобразующейся по S)j, оператор Ш? = М2 + М2 + М2 имеет собственное значение J(J + 1), а оператор М* собственное значение М(= J, J — 1, ... , — J). Следовательно, умноженное на h внутреннее квантовое число j дублетных термов, характеризующее преобразование собственных функций, можно рассматривать как «величину момента импульса», как это уже указывалось в векторной схеме предыдущего параграфа. S^ являются линейными операторами в спиновом пространстве, представленном по формуле (22.6) матрицами

s- = s(l о)' S' = 5(‘ ’»)’ S‘ = H° -1 ) • (22'7>

Здесь мы второй раз встречаемся с «матрицами Паули» <тж, ау, az (см. §20) как с компонентами удвоенного вектора спина &.

Выведенные до сих пор формулы имеют место при определенном выборе основных векторов щ, а именно, как это явствует
124

Глава IV

из (22.7), ui и U2 являются собственными векторами оператора Sz. Следовательно, ui и U2 представляют состояние, в котором момент импульса HSZ принимает определенные значения и — ^/г. Отсюда следует, что, если рассматривать и\ и как функции спиновой координаты az, г*1 (1) = Pi ф 0, ui( —1) = О, м2(1) = 0 и2(-1)=р2^0.

Поэтому функция ф = uj\U\ + UJ2U2 имеет значение

фх = i>(q,+1) = Ui(q)pi Ф2 = 1) =u2(q)p2.

+ uj2^2 остается инвариантным при любом вращении, но точно так же инвариантно по физическому смыслу фи фгф\ + Ф2^2 —

— \pl\2Ui(jJi + \р2\2ф2ф2- Поэтому \pi\2 ДОЛЖНО быТЬ раВНО1 \р212. Так как они не входят в общий множитель при и\ иг/2, то мы можем принять \pi\ = \р2\ = 1. Наконец, так как ф± и Ф2, согласно сказанному в начале этого параграфа, определены с точностью до фазовых множителей еlBl и ег02, то мы можем принять р± = р2 = 1 и, следовательно, Ф1 = uii и Ф2 = ui2- Таким образом, проведенное вначале различие между фи и отпадает. Поэтому далее мы будем писать фи вместо Мы не можем еще установить волновое уравнение для пары функций (фх, ф2) так как еще не знаем дополнительного члена, соответствующего спиновому возмущению (дублетному расщеплению), но мы, конечно, можем на основе третьей гипотезы (§ 21) написать дополнительный магнитный член, соответствующий аномальному эффекту Зеемана. Дополнительный член для магнетика, момент которого равен произведению ^ на момент импульса, очевидно, имеет вид

2х(й6), (22.8)

или для магнитного поля в направлении z

>c$hz(jz\ vz = ^ q ^ ^ .2)

ХВ противном случае из инвариантности обеих форм = Ш2Ш2 и \pi\2uiuJ\ +

+ \р2\2Ш2Ш2 следует инвариантность отдельных членов и Ш2&, что не имеет

места.

2Может показаться странным, что матрица <7Z обозначается точно тем же символом, как и спиновая переменная az в начале этого параграфа. Однако ближайшее рассмотрение показывает, что операция, представляемая матрицей crz, является умножением функции ip(q, (Tz) на az. Поэтому использование символа az в обоих случаях совершенно неопасно.
§ 23. Инвариантность уравнения Дирака

125

Теперь исследование эффекта Зеемана является чисто вычислительной задачей. Мы вернемся к этому вопросу в § 25, где он будет рассмотрен для общего случая многих тел.

§ 23. Инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования Лоренца
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed