Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в совокупности (ф^\ • • • 5 так как сУмма соответствует сумме,
и произведение аф соответствует произведению аш\. Но к (19.3) можно далее применить преобразование t группы 0 и получить
^ = tuo 1 + tuo 2 + • • • ,
где tuj\ является опять линейной комбинацией той же формы, что и Следовательно, в нашем отображении ^ соответствует tu\, т. е. отображение является операторным гомоморфизмом совокупности (ф) в совокупности (и>\). Эта совокупность (о;д) либо состоит из нуля, либо
*•* *•* ( (1) (ЛаК
тождественна со всей неприводимои совокупностью {(р\ ... , ') и
преобразуется по Эд. Согласно теоремам § 11 в последнем случае 2)д должно являться составной частью разложения представления 2), что и требовалось доказать. ¦
Дополнение ко второй вспомогательной теореме. Будем заменять функцию ф последовательно функциями ф^\ ... , ф^ и соответственно этому снабдим коэффициенты a2v^ • • • верхним индексом fi = (1, 2, 3, ... , К). Тогда коэффициент (и точно так же
и т. д.) однозначно определяется теорией групп с точностью до общего множителя pi, если представления 2) и S)i известны, в предположении, что в разложение представления И) не входит двух эквивалентных неприводимых составных частей.
Доказательство.
Согласно ранее приведенному доказательству, а[^ образует матрицу операторно-гомоморфного отображения совокупности (ф^\ ..., ф^)
в совокупности (с... , ^i^). Выберем функции (ф^\ ... , ф^) таким образом, чтобы неэквивалентные неприводимые подсовокупности сводились к ф(г\ ... , ф(а\ ф(а+1\ ... , ф(а+ь\ .... Если теперь не
(fi) / (1) (hi)\ g, все равны нулю, то (ср\ ... , (р\ ') должно быть эквивалентно одной из подсовокупностей ф, скажем (ф^\ ... , ф^). При соответствующем выборе (ф^\ ... , ф^) обе эквивалентные совокупности не только эквивалентны, но и одинаково преобразуются. Операторный гомоморфизм совокупности (ф^\ ... , ф^) также гомоморфно отображает подсовокупности (ф^\ ... , ф^) и т. д. Тогда по лемме Шура подпространство (ф^\ ... , ф^) отображается с помощью матрицы ХЕ, тогда как все остальные неэквивалентные подсовокупности отображаются нулем. Поэтому матрица отображения однозначно определена с точностью до множителя Л. Это имеет место и тогда, если мы перейдем к другому базису совокупности (ф^\ ... , ф^). ш
102
Глава III
Из второй вспомогательной теоремы вытекают правила отбора. В § 4 и § 6 мы получили правила отбора для одного электрона / —у I ± 1 в случае поля с центральной симметрией, т —У т или т ± 1 для поля с осевой симметрией.
Правила для га сохраняются также и в случае многих электронов. Как обстоит дело с правилом для /, когда I заменено на L1
Согласно § 3, интенсивности возникающих линий зависят от коэффициентов й, I), с в разложениях
нимать одно из значений L ± 1 и L. Поэтому и в правую часть (19.4) также должны входить только эти 2)^/. Это дает правило отбора
Совершенно таким же образом, но только значительно проще, получаем правило отбора для характера отражения w = ( — \)^lv
или правило JIanopma: ^21и меняется только на нечетное число. Дей-
левой части появляется множитель —w, поэтому в правую часть также входят только члены с характером отражения —w. Из этого правила вытекает еще, что в случае внешнего электрона и атомного остатка с центральной симметрией, если переходы совершает только внешний электрон, а остаток в первом приближении остается неизменным, то переход L —У L, допускаемый (19.6), оказывается запрещенным. Для
>
(19.4)
Величины слева или, точнее, их линейные комбинации
(19.5)
согласно обозначениям на стр. 100 являются произведениями U ™ V^Ui^\ V^Ui^\ преобразующимися по Yh'&L', где V может при-
( —1) тт(т)
L- 1
(0 —У 0 запрещено).
(19.6)
L + 1
w —w
(19.7)
ствительно, если в (19.4) при отражении s, умножается на w, то в
§ 19. Правила отбора и интенсивности 103
этого случая имеет место старое правило отбора L —>• L =Ь 1 или, что то же самое, I I =Ь 1.
Из дополнения ко второй теореме получаем, что коэффициенты (19.4) и т. д. для каждой фиксированной пары значений L, L
однозначно определяются с точностью до множителя pl>l (независимого от т и га') с помощью теории групп. Вычисление этих коэффициентов позволяет судить об относительной интенсивности линий, возникающих при нарушении вырождения термов возмущением, не обладающим центральной симметрией (эффект Зеемана или Штарка), в предположении, что возмущение настолько мало, что функции ф невозмущенной системы могут быть применены для вычисления интенсивностей. Вычисление производится очень легко на основании того соображения, что (18.4), представляет собой разложение произведений UmVm>, которые при j = L и jf = 1 имеют совершенно такой же вид, как и наши
