Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
J+MJ-M
хл х0
м ~
xj —
л Ы —
y/{J + M)\(J - М)\
в А для М = J, J — 1, ... , —J представляют собою искомые величины Wf.
Доказательство.
Если х\, Х2 преобразуются контрагредиентно к и±, и2 и v±, v2, то выражение А инвариантно и поэтому коэффициенты W^ преобразуются контрагредиентно к XНо точно так же при преобразовании как и(+мП2~М: л/(J + M)\(J — М)\ выражение (u±xi + u2x2)2J = = (2J)\YUjmXjm остается инвариантным, следовательно, также преобразуется контрагредиентно к Х^. Отсюда следует, что как и преобразуются по S)j, что и требовалось доказать. ¦
94
Глава III
Вычисления А проводятся таким образом:
- U2V1)X = (Mlt’2)A_I/(M2Ul)'/,
jy=0
A = ^2 E Vu + m)'U - - m')l(J + M)\(J - M)\
m m'
E(-D“(") ( ,• 1*~-„ ) ( //m" =
= A!(2j-A)!(2j'-A)!?E Cmm'^rnVmi Х^т, ^
m m'
J _ ул/ -jw ^/(j+m)!(j-m)!(j/+m/)!(j/-m/)!(J+M)!(J-M)!
^mm' 2-Л ) (j — m, — г^)! (j'4-гтг — Л+г^)! Ч-гтг' —! (j' —m,' ——г^)!
v
[М = га + га'].1
(18.2)
Поэтому
WM = P,J ^ ] Cmm'UmVm' 5 (18.3)
га+га' =М
где pj — численный множитель, который, впрочем, может быть выбран произвольно, например, так, чтобы величины W^ образовывали нормированную ортогональную систему в унитарном векторном пространстве имУш'-2 Если мы теперь положим bJmm, = Л/с^т,, то с га + га' = М для каждого фиксированного значения М образует унитарную матрицу Вм, причем J играют роль номеров столбцов, а га или га' — номеров строк. Транспонированная матрица В^ по формуле (7.5) одновременно является адъюнгированной матрицей Вм, т. е.
1 Дробь справа обращается в нуль, если одно из чисел (j + т — v) и т. д. в знаменателе отрицательно. Кроме того, 0! = 1.
2Так как два вектора Wm, относящиеся к различным значениям J, ортогональны друг к другу, то отсюда следует, что каждые два неэквивалентных неприводимых подпространства пространства унитарных представлений х строго ортогональны друг к другу, и перпендикулярная проекция одного пространства в другое образует операторный гомоморфизм, имеющий только нулевое изображение. Ортогональность двух Wm с равным J, но различными М, получается таким же образом с помощью представлений подгруппы вращений вокруг оси Z.
§ 18. Примеры и применения 95
уравнения (18.2) могут быть решены относительно С/тУт/ следующим образом:
ЦтУт' — PJCmin' ^т+т/ • (18.4)
J
Значение чисел pj нас не интересует. Уравнение (18.4) известно под названием ряда Клебша-Гордона. Числа с3шгп, определяются целиком из (18.2). В частном случае J = j + j' (А = 0) уравнение (18.2)
упрощается, сводясь к
с3 , =
(J + M)\(J — му.
{j + m)l(j - m)\(j' + m')\(j' - т')\ и точно так же в частном случае
J = 3 ~ j' (А = 2j'; j ^ j')
rJ =(-1 V'+m'J___________________{j_+m)\(j - m)\
Lrnm' \ ±J \ / •/ | •/
(,j' + - m')\(J + M)\{J - M)V
1риссдсппиУ1 хаилицс ширапи опачспил
ших случаев
В нижеприведенной таблице собраны значения с^т, для простей-
2. Применение соотношения (18.1)
Состояние /-электронной системы в силовом поле с центральной симметрией описывается некоторой функцией ^(q\, q2, • • • , qf )• Линейная совокупность собственных функций каждого уровня энергии при вращений линейно преобразуется в самое себя; следовательно, она распадается на отдельные части, преобразующиеся по представлению 2Dj. В этом случае обычно пишут L вместо J и вследствие однозначности представления рассматривают только целые значения L.
В нашем случае оператором бесконечно малого вращения всех электронов вокруг оси z является
Поэтому ihlz = hLz является оператором для ^-компоненты момента импульса Для неприводимой системы собственных функций, преобразующейся по 2Dj, оператор ?2 по § 17 имеет собственное значение L(L + 1) и Lz собственные значения М = L, L — 1, ... , —L. В векторной схеме для момента импульса атома вводят вектор длиной HL,
96
Глава III
Таблица 2
^-компонента которого принимает значения НМ (М = L, ... , — L), совершенно аналогично одноэлектронной задаче (см. §6). Мы говорим о S'-, Р-, D-, F- и т. д. термах атома (по аналогии с s-, р-, d- /-, ... и т. д. термами электрона) для L = 0, 1, 2, 3 и т. д. и называем L азимутальным или угловым квантовым числом.
