Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
LzvmHzvm = z(J^Z)(0, 0, 7)^м) _0 = ^Ще~гМ1ум^) _0 = Mvm-
Поэтому векторы vm являются собственными векторами оператора Lz для собственного значения М. Следовательно, мы можем их также получить путем преобразования оператора L к главным осям.
Лемма. Если вектор v относится к собственному значению М оператора Lz, то Lpv относится к собственному значению (М + 1), a Lqv
— к собственному значению (М — 1) оператора Lz.
Доказательство.
Из Lzv = Mv следует
LzLpv = (LPLZ + Lp)v = LpMv + Lpv = (M + 1 )Lpv и соответственно
LzLqV = (M — 1 )LqV.
Этим и доказывается лемма. ¦
Отыщем теперь в пространстве вектор vj, соответствующий наибольшему возможному значению оператора Lz\ (или в случае мнимых собственных значений относящийся к собственному значению с наибольшей вещественной частью). Тогда Lpvj относится к собственному значению J+1. Но так как J является максимальным возможным значением, то Lpvj = 0 должно быть равно нулю. Далее имеем
vj-i = Lqvj относится к собственному значению J — 1,
vj-2 = LqVj-1 относится к собственному значению J — 2.
Ряд можно продолжить до нулевого вектора, который, в конце концов, должен появиться, так как в пространстве может существовать только конечное число собственных значений.
Легко показать, что при М = J, J — 1, J — 2, ...
Lpvm = Рм^м+ъ
(17.6)
§ i7. Бесконечно малые преобразования
89
где рм — целое число. Эта формула, конечно, правильна для значений больших, чем М = */, причем pj = 0, так как Lpvj = 0. Мы покажем, что она справедлива при М-р — 1, если она выполняется при М-р. Действительно,
LpV^ — 1 — LpLqVjjh — {^Iqlp 2Iz^VjjL — LqPjjhVjjh-|_i 2pV^ — (Pfi 2p^Vp.
Этим и доказано (17.6).
Для рм мы получаем рекурсионное равенство
Должен существовать один нулевой vm — 0, тогда как следующий член vm+1 Ф 0, при этом должно иметь место рМ — 0. Но отсюда следует М = — (J + 1), так как уравнение
имеет только корни х = J и х = —(J + 1), а значение М — J не может иметь места при vj ф 0. Таким образом, первым нулевым вектором в ряду vj, vj-1, vj-2, ... , будет v_(j+i). Число членов ряда vj, vj_i, ... , v-j равно 2J + 1, следовательно, 2J + 1 является целым числом, a J половиной целого числа.
Возможные значения J
Чтобы достичь наибольшей симметричности формул, можно снабдить vm численным множителем и принять
Рц — 1 — Рр, “Ь 2р, pj — 0. Решение этого равенства имеет вид
pM = J(J + l)-M(M + l).
(17.7)
J(J + 1) -х(х + 1) =0
LqVM = л/J( J + 1) — М(М — 1) • VM-1?
тогда имеем
Lpvm — л/J( J + 1) — М(М + 1) • г^м+i —
= vW + 1) “ - 1) • vm- 1 = f (17'8)
Lzvm = Mvm-
90
Глава III
Подпространство (vj, vj-i, ... , v_j) нашего векторного пространства преобразуется в самого себя операциями Lp, L*, а следо-
вательно, и бесконечно малыми вращениями /ж, Iy, Iz. Отсюда следует, что это подпространство преобразуется в самого себя также всеми преобразованиями представления группы вращений, т. е. векторы vj, vj-1, ... , v-j определяют инвариантное подпространство 9W.
Преобразования этого подпространства образуют представление группы вращений, полностью определяемое уравнением (17.8). В пространстве 9^2J+i оператор Lz имеет простые собственные значения М = J, J — 1, ... , —J с собственными векторами vm- Отметим еще, что все векторы пространства 9^2J+i являются собственными векторами оператора
?2 = L\ + L\ + Ll = \(LpLq + LqLp) + L\.
Из (17.8) после простых вычислений получаем
? VM = </(</+ l)vM- (1^*9)
Пространство 9^2J+i неприводимо. Действительно, если инва-
риантное подпространство 9^2J+i и v' собственный вектор Lz в пространстве , то v' должно совпадать с одним из векторов vj, ... , v-j с точностью до множителя (так как в 9^2J+i не содержится других собственных векторов Lz). Преобразования Lq и Lp по (17.8) образуют из v' = vm все остальные vm (М = J, J — 1, ... , — J). Поэтому все
эти vm принадлежат к , и является всем пространством 9^2j+i,
что и требовалось доказать.
Определяемое формулами (17.8) представление степени 2 J + 1 эквивалентно найденному в предыдущем параграфе представлению, обозначенному через 2)j.
Действительно, в пространстве (... , и^гиТ2, ...) представления 2)j базисные векторы uv-^ruT2 при вращений (0, 0, 7) умножаются на егМт = e^v~2r\ а следовательно, значения М = г — ^v
§i7. Бесконечно малые преобразования
91
Величины vm пространства D^j+i должны совпадать с произведениями и^м uJ2~M представления И)j с точностью до численного множителя. Вычисляя численный множитель, получим
и{+м4~м
VM = . 1 2 ------• 17.10
