Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ван-дер Вандер Б.Л. -> "Методы теории групп в квантовой механике" -> 32

Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.

Ван-дер Вандер Б.Л. Методы теории групп в квантовой механике — И.: РХД, 1999. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): metodteoriigrupvkvantovoymehanike1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 85 >> Следующая


DfiDcz — D>y — f3)-

Мы применяем здесь метод бесконечно малых преобразований Ли-Картана2.

Применив к вектору и пространства представлений преобразование Dp, получим вектор v = Dpu. При /Зи = 0 имеем v = и. Для бесконечно малого /Зи можно разложить D@u, пренебрегая членами выше первого порядка

v = Dpu = и + (Ц)/1 + (щ)& + (щ)/* + ¦¦¦¦ Величины ( линейно зависят от и. Поэтому мы полагаем

(ml=^2-3)

и будем называть линейные преобразования Iv [у — /, 2, 3) бесконечно малыми преобразованиями, с помощью которых представляются бесконечно малые вращения вокруг осей X, Y и Z. Вместо Д, /2, h пишут также 1у, Д.

Требования непрерывности (без дифференцируемости) было бы достаточно, и его можно было бы даже заменить еще более слабым. Этот вопрос не имеет, однако, для нас существенного значения.

2Подробное изложение метода и остальные литературные ссылки можно найти в работах H.Weyl, Math. Z., Bd. 23 (1925); Bd. 24 (1924). В них установлены представления весьма общего класса групп, частным случаем которого являются группы вращения и Лоренца.
86

Глава III

Будем исходить из фиксированного вектора щ в пространстве представлений и примем

и = Dau0

И

v = Dpu = DpDauo = DjUq.

Здесь = у?!, (а, /3). Дифференцирование последней формулы по Д, (если после дифференцирования принять j3v = 0) дает

ixu=(^f) =т(^-) =Е#^а».

\д(3\/р=о ^,\д'уг//'Г=а\д/3\/р=о ^ dav

Решая эти линейные уравнения с помощью обратной матрицы Т, получим

? = <17л>



По Ли это выражение является «характеристическим дифференциальным уравнением» представления.

Заметим, что Т^, зависит только от строения группы вращения, но не от рассматриваемого представления. Так как дифференциальное уравнение (17.1) совместно с начальным условием и = щ для а = 0 целиком определяет величины и = Dauo, то мы получаем следующее правило:

Представление группы вращений целиком определяется своими бесконечно малыми преобразованиями /ж, Iy, Iz.

Но операции /ж, Iy, Iz не вполне произвольны, а должны удовлетворять «условиям интегрируемости», получающимся из (17.1), если диф-

д2 В2

ференцировать по аи и приравнять произведение 0 ^— и 0 ^—.

* оа^оа» оа^оа»

После вычислений получаем

- Т!Т;) = о.

а р а

Мы применим это соотношение только для а = О.1 В этом случае Т?

— единичная матрица и мы получаем

^ ^ ^/iv + I^UO — 0?

1Впрочем, и для произвольного а после громоздких вычислений мы получим тот же результат.
§ i7. Бесконечно малые преобразования

87

где для сокращения положено

д(Хц dav / а—о

(17.2)

Ввиду того, что вектор щ совершенно произволен, мы получаем

Вещественные постоянные согласно (17.2) зависят только от рассматриваемой группы; их можно определить, если в качестве пространства представлений выбрать, в частности, пространство линейных функций ф (ж, у, z) = а\х + а2у + a%z, в котором оператор Iv задается непосредственно (см. § 6). Следовательно, найденное для этого случая перестановочное соотношение (6.3) должно иметь место для любого представления. Оно имеет вид

Это фундаментальное перестановочное соотношение дает основу для определения всех возможных представлений. Для того чтобы получить их в удобной форме, введем, как в § 6, операторы

Перестановочное соотношение (17.4) после вычисления имеет вид1

x3Ta форма перестановочного соотношения удобнее потому, что в два первых уравнения входят только два бесконечно малых первичных преобразования (вместо трех, как раньше). Выражения Ьр и Lq получаются, естественным образом, при рассмотрении выражения TL = LZL — LLZ как линейного преобразования Т в пространстве линейных комбинаций L = \LX + fiLy + vLz и отнесении его к главным осям. Собственными векторами являются Lp,Lq и Lz, соответствующие собственные значения 1, —1, 0.

(17.3)

а

(17.4)

Ly — lz — “ilz*

Далее примем

(17.5)
88

Глава III

Пусть задано представление группы вращений в векторном пространстве (с конечным числом измерений). В нем, естественно, содержится также и представление той абелевой подгруппы, которая слагается из вращений (0, 0, 7) вокруг оси z. Это представление, согласно второму примеру § 10, можно разложить на неприводимые и получить ряд базисных векторов у которых при вращений появляется множитель elMl (при однозначном представлении М должно быть целочисленным, но этого может и не быть, если представление однозначно только вблизи единицы). Мы имеем соотношение
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed