Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
3. Характер отражения
Поле отдельного ядра остается инвариантным не только при пространственных вращениях, но и при отражениях. Все отражения можно получить из вращений и «отражения от начальной точки»
х' = -х, у' = -у, z' = -z,
коммутирующего со всеми вращениями. Тождественное преобразование совместно с этим отражением образует абелеву группу второго порядка. Вследствие вышеотмеченной коммутируемости эта абелева группа может быть разложена на неприводимые одновременно с группой вращений, т. е. базисные векторы представления (в частности, собственные функции какого-либо уровня энергии) всегда могут быть выбраны таким образом, что при вращений они преобразуются по 2); и одновременно при отражении S умножаются на w = ±1. Этот множитель w называется характером отражения.
В частности, при одноэлектронной задаче шаровые функции /-того порядка имеют характер отражения, равный (—I)1.
§ 19. Правила отбора и интенсивности
99
Если внести / электронов с азимутальными квантовыми числами /]_, /2, ...,// в поле с центральной симметрией и пренебречь их взаимодействием, то собственные функции сведутся к произведению
•Ф =
с характером отражения
w = (~l)h+h+'"+lf. (18.5)
Этот характер сохраняется и при учете взаимодействия, хотя собственные функции не являются более произведениями ^1,^25-•• jV7/* Соответствующий терм называется четным или нечетным в зависимости от того, является ли w = +1 или w = —1. Например, из четырех вышеприведенных серий углерода две первых относятся к нечетным, две вторых — к четным термам. Мы скоро увидим, какое следствие получается отсюда для спектров.
§ 19. Правила отбора и интенсивности
Докажем сначала две вспомогательные теоремы из теории групп. Первая вспомогательная теорема. Пусть два представления 2), ЗУ группы 0 в пространствах УК = (и\, ... , ип) и УК = (у\, ... , vn) определяются совершенно одинаковыми формулами
aufi =
л
IVfi — ^ ^ &\ц1 Л
с той разницей, что векторы ид образуют линейно-независимый базис для УК, тогда как vд линейно-зависимы. Представление И) целиком приводимо
Э = Э1 + ... + ЭЛ. (19.1)
Тогда ЗУ также целиком приводимо и разложение ЗУ получается вычеркиванием некоторых представлений в правой части формулы (19.1). Доказательство.
Если сопоставить каждому вектору и = X схих вектор v = X сл^л?
л л
то сумме двух векторов также будет соответствовать сумма, а произведению аи — произведение av, таким образом, это соответствие яв-
100
Глава III
ляется операторным гомоморфизмом. Следовательно, по теореме 4 § 11, имеем
“ г; + • • • + x'h,
где t' — некоторое неприводимое подпространство, входящее в разложение УК. ш
В первую очередь мы применим эту теорему к произведению представлений. Пусть имеются некоторые величины Uи vj,171 ^ (собственные функции или что-либо другое), которые преобразуются по S)j и 2V, и мы хотим знать, как будет преобразовываться произведение К Если мы заменим 17, V таким же количеством независимых переменных и, v, то произведения ^ будут преобра-
зовываться по х S)j/ = Я J = j + jf, ... , |j — j'\. Если мы
j
опять заменим в этом преобразовании и, v через 17, V, то оно сохраняет свою форму, но произведения могут оказаться линейно-зависимыми. Поэтому, согласно нашей вспомогательной теореме, они преобразуются по представлению ^ 2)j, в которое входят некоторые из возможных значений J = j + j', ... , \j — j'\ (но возможно и все).
Вторая вспомогательная теорема. Если замкнутая ортогональная система
(1) (^l) (1) (^2) /1 п о\
Ч>\ ... , ч>\ (Рк2 ',..., (Рк2 ... (19.2)
определена так, что при каждом А совокупность функций • • • ? Ч>\\
при заданной группе преобразований 0 (например, при пространственных вращениях) претерпевает неприводимое представление 2)д и, если совокупность функций ф^\ ... , ф^н\ претерпевающая при той же группе соответствующее целиком приводимое представление 2), разлагается по ортогональной системе (19.2), то в разложение входят
только такие <р^ представления, 2)д которых содержатся в качестве составных частей в представлении 2).
Доказательство.
Если ф — линейная комбинация функций ф^ -ф(к\ то
h 1 /12
Ф ~ ^ ^ ^ ^ ^ ^ + * * * = ^1 + ^2 + * * * • (19.3)
Так как ф однозначно определяет все компоненты a\v, то, следовательно, wi, W2 и т. д. также однозначно определяются. Соответствие ф —>
§ 19. Правила отбора и интенсивности
101
является линейным отображением совокупности (ф) = (ф^\ , ф^)
