Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
функции U{Lm) = v4m) и v}1} = -(X + iY), v}~1] =X-iY, v?0) = Z^J2. Поэтому, согласно второй вспомогательной теореме (дополнение), коэффициенты разложения в произведении U^V^m ^ для каждого V должны совпадать с коэффициентами (18.4) с точностью до численного множителя.
Для полного совпадения обозначений заменим в (19.4) символы L, I/, га' на j, J, М. т. е. положим
~(Х + г?)ф^т) = - ? ф?{а + ib)^m)'
(X - = 5>"(°- ib)%m)
л/2^га) = 5>fV247ra)
Теперь коэффициенты правой части для каждого J должны быть пропорциональны коэффициентам разложения с3ш м_ш в (18.4).
(19.8)
104 Глава III
Поэтому получаем (ср. вторую таблицу на стр. 96)
для J = j + 1: (а + ib)(j™+1’m} = -ру/(j + т + 2)(j + т + 1),
(а - гЬ)|у™_1’га) = py/(j -т + 2){j - т + 1),
с(т,т) = /3X/(j + m + i)(j_m + i).
для J = j: (а + г6)^“+1,т) = ay/{j + т + l){j - т),
(а - гЬ)|у™_1’га) = стл/d + m)(j-m + 1),
(га,га)
= <тт;
для <7 = j - 1: (а + г6)^“+1,т) = Ty/(j - m)(j - m - 1),
(а - ib)(™j 1,т) = -гЛ/0' + т)0Ч-т-1),
4™’т) = TVU + ™)(j - m).
(19.9)
В этих формулах можно опять заменить j, J на L, 7Л В случае надобности можно легко из (а + и (а — гЬ)^т вычислить
и Согласно § 3, квадраты этих величин дают вероятности перехо-
дов, которым пропорциональны интенсивности соответствующих спектральных линий. Вопрос о направлении поляризации излученного света уже был разобран в § 6.
§ 20. Представления группы Лоренца
Совершенно таким же образом, как мы установили в § 16 и § 17 представления группы вращения Ь, мы найдем теперь представления группы преобразований Лоренца (группа Лоренца).
1. Группа С2 и основное преобразование Лоренца
Будем исходить из группы С2 одномодулярных линейных преобразований в двухмерном пространстве. Так как в дальнейшем нам придется иметь дело с ко- и контравариантными векторами, то мы воспользуемся обозначениями исчисления Ричи1. Мы обозначим базисные
12 - * 1 2 ГЪ
векторы через и, и, а их линеиные комбинации через а\и+а2и. Формула
Тензорного исчисления.
§ 20. Представления группы Лоренца 105
преобразования имеет вид
1 / 1 2
и —и а + и 7,
2/ 1 п 2 г
Ur = U /3 + U 0,
aS-/3j = 1 > . (20.1)
1 2
Мы введем еще второе векторное пространство (а\ и + а>2 и), которое преобразуется одновременно с первым, но всегда с комплексносопряженной матрицей
i / i — 2 - ^
и =и а + и 7
. . . \ (20.2)
2 / 1 77 2 Т
и — и р + и о )
Мы уславливаемся отмечать все величины, преобразующиеся по (20.2), пунктирными индексами (1, 2 или Г, 2‘).
12 1 2 Если нужно, можно считать и, и численными переменными, а и, и
1 12 2 тт
комплексно-сопряженными переменными и = и, и = и. Иногда мы
будем пользоваться этой интерпретацией, иногда будем понимать
1 2 i 2
под и, и, и, и четыре совершенно произвольных основных вектора.
Если (ai, 0^2) и (bi, 62) два вектора, преобразующиеся по (20.1), то выражение ai&2 — &2&1 инвариантно; поэтому вектор (&2, —bi) контра-гредиентен к (ai, аг). Следовательно, мы можем для каждого бинарного вектора (bi, 62) построить контрагредиентный вектор (Ь1, Ь2) с компонентами
ь1 = Ь2, Ь2 = -1ц. (20.3)
Точно так же для каждого вектора (Ъi, Ъ2) мы определяем контрагредиентный вектор (Ь1, Ь2) = (&2? — bi).
Линейное пространство всех билинейных форм
1 1 12 2 1 2 2 ,nri .ч с^гш + с12ии + c2iim + с22ии (20.4)
линейно преобразуется в самого себя при преобразованиях (20.1) и (20.2) (т. е. при замене и на й'), причем детерминант
106
Глава III
остается инвариантным. Для того чтобы форма (20.4) при интерпре-л л
тации и, и, как комплексно-сопряженных пар переменных, принимала только вещественные значения, с12 и с2^ должны быть вещественными, а с1 j, с2^ — комплексно-сопряженными. В дальнейшем мы будем пользоваться этими условиями вещественности; они, очевидно, инвариантны относительно преобразований (20.1).
Введем теперь вещественные переменные х, у, z,t с помощью соотношений
