Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы должны исследовать, каким образом преобразуется1 при вращении координатной системы функция ?/>((/, az), которая до сих пор была определена в частном случае относительно оси z. Подвергнем координатную систему вращению В-1 или, что приводит к тем же результатам при неподвижных координатах, подвергнем вращению D пространство «вращающегося электрона»; тогда спиновые функции щ и и2 переходят в спиновые функции Du\ и Du2
Dux = щац + ^2^21 1
} (22.3)
Du2 = и\а\2 + и2а22 J
Предположим затем, что в произведении пространственной и спиновой функции u>(q)u\ оба множителя преобразуются в отдельности, причем и\ по (22.3), a w по обычному правилу преобразования пространственных функций
D(u(q)u\) = u(D~1q)Dux,
n (22.4)
Du\ = 2_^ u\av\-
Предположим, наконец, что сумма uo\U\ + ио2и2 преобразуется снова в сумму D(loiUi) + D(lo2u2). Приняв
D(UJ\U\) + D((J2U2) = Lj[ui + UJ2U2, получим для новых компонент и>[, и>'2:
u[(q) = auu>i(D~1q) + а12и2( D_1q), w'2(q) = a21w1{D~1q) + a22u>2(D~1q).
Коэффициенты ац~ зависят только от выбора вращения D. Они определены, собственно говоря, с точностью до постоянного множителя Л,
так как умноженная на Л функция ф представляет то же самое состояние, что и исходная функция. Поэтому мы можем нормировать их так,
1 Вывод этих формул преобразования с помощью теории групп впервые дали J. v. Neumann u. Е. Wigner, Z. f. Physik Bd. 47, S. 203 (1927).
§ 22. Волновая функция «вращающегося электрона»
121
чтобы детерминант аца22 — «12^21 равнялся единице (ср. § 16, петит). При этом они определяются с точностью до множителя ±1.
Тождественному преобразованию D — 1 должна соответствовать единичная матрица а\ц = 8\jL. Предположим далее, что в области тождественного преобразования коэффициенты а\ц непрерывно дифференцируемо зависят от параметров вращения D. Тогда произведение двух вращений с точностью до произвольного множителя Л, равного после нормировки ±1, должно соответствовать произведению соответственных преобразований. Следовательно, в формуле (22.3) мы имеем (максимум двузначное) представление группы вращений, удовлетворяющее всем условиям, поставленным в § 17. Но по § 17 с точностью до эквивалентности существует только одно такое представление группы вращений с помощью двурядных матриц, а именно двузначное представление ЗУ/2, при помощи унитарных матриц
с детерминантом, равным единице, заданное в развернутом виде формулой (17.8). Это значит, что при соответственном выборе базисных векторов щ, U2 наше представление тождественно с представлением lDi/2*
При помощи этих представлений мы сразу получаем правильное качественное объяснение дублетного расщепления уровней щелочных металлов. А именно, выберем в качестве ф^\ ... , ф^ в (22.2) 21 + 1
собственных функций ф\т^ бесспиновых термов, преобразующихся по 2)/. Тогда 21 + 1 произведений (22.2) преобразуются по произведению представлений H)i/2 х 2)/. Но H)i/2 хЭ/ = + ®i-i/2 (или
соответственно = S)i/2 ПРИ I — 0).
При учете спинового возмущения, которое, естественно, должно быть инвариантно относительно вращения, могут разделиться только термы с 1/2 и 1/2, но никакое другое расщепление невозможно. Терм !Dj+i/2 вырожден (21 + 2)-кратно, второй терм 2/-кратно. Это вырождение, в согласии с опытом, должно исчезать только при возмущении, не обладающем центральной симметрией. Число I =Ь характеризующее представление, обычно обозначают через j и называют внутренним квантовым числом электрона.
Для завершения формул преобразования спиновых функций мы должны еще раз указать, как они преобразуются при отражении s
х' = -х, у' = -у, z' = -z.
122
Глава IV
Мы предполагаем, что величины щ, и2 при s преобразуются линейно так же, как в (22.3), а именно с помощью матрицы S. Так как отражение s коммутирует со всеми вращениями D, то матрица S также должна коммутировать с представлением S)i/2- Но так как последнее неприводимо, то S является кратной единичной матрице
Значение Л совершенно произвольно, так как умноженная на Л функция ф представляет то же состояние, что и исходная функция. Для простоты мы выберем Л = 1; тогда отражению s соответствует тождественное преобразование величин щ, и2.
Для дальнейшего изложения нам понадобятся операторы компонент момента импульса. Употреблявшиеся ранее операторы
дают нам только момент импульса движения по орбите, но не спина. Чтобы получить выражение для полного момента импульса, вспомним, что по § 6 в бесспиновом случае операторы Lx, Ly, Lz являются /-кратными бесконечно малыми операторами вращения /ж, Iy, Iz. Построим теперь также в случае «вращающегося электрона» для преобразования (22.4) бесконечно малые вращения /ж, Iy, Iz или Д, /2, /3
