Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
о важности этого эффекта, мы рассмотрим движение снаряда в пустоте, что, очевидно, значительно удалит нас от практических условий задачи. Предположим, что снаряд движется по настильной траектории (т. е. траектории, весьма близкой к горизонтальной прямой) и начальная скорость v0 очень велика, так что в формулах (3) можно пренебречь членами, содержащими с, и сохранить члены, содержащие а и b (горизонтальные проекции скорости г»0). Тогда формулы (3) приведутся к виду:
—a)W‘2sinA, turj = -j- wafisin А.
Эти формулы показывают, что отклонение перпендикулярно к траектории (точнее, к г»0); в северном полушарии (где А положительно) оно происходит в правую сторону, в южном полушарии—в левую сторону *); его величина равна
шУяа + № ft sin А = (<» г»0 sin А) Р.
Таким образом, поскольку оказываются законными наши допущения, величина отклонения в одном и том же месте не зависит от направления стрельбы.
*) Если смотреть на движущийся снаряд сверху, т. е. в направлении оси Ог. (Прим. перев.)
Глава VII. Относительное движение точки
219
Например, если стрельба происходит в горизонтальном направлении по цели, отстоящей на 8 км, со скоростью 800 м/сек, то отклонение будет равно
coA?0 sin X — 0,000073 • 100 • 800 • sin Л = 5,8 sin Л,
что составляет около 4 м на широте 50°.
§ 4. ОТКЛОНЕНИЕ СВОБОДНОГО МАЯТНИКА.
МАЯТНИК ФУКО
176. Уравнения движения маятника относительно поверхности Земли. — Мы будем рассматривать здесь кажущееся движение сферического маятника (или маятника на одноИ нити) относительно поверхности Земли, или, чго сводится к тому же, движение тяжелой точки М по сферической поверхности радиуса /, неизменно связанной с Землей.
Сохраним те же оси, как в предшествующем параграфе. Пусть точка О будет центром сферической поверхности или точкой подвеса нити, удерживающей движущуюся точку на этой поверхности. Уравнения относительного движения маятника получаются из уравнений движения (1), написанных в предшествующей глапе (п° 159), прибавлением к правым частям центробежной силы, отнесенной к единице массы, так как множитель m в этих уравнениях опущен. Мы получаем, таким образом, систему уравнений:
-«у+2oi(sin >• -?-— } (1)
d2x ,, х п . , dy
ЧГ= ~7 sm ^
<Ру_ ^ м У | О..., dx dz
de-
dP-z . r 2 i 0 , dv
_g_,= tf_W-r-|-2<«cos \-iT
В этих уравнениях N есть реакция нити, отнесенная к единице массы. К ним нужно присоединить еще уравнение сферы радиуса I
х*у* + г* = Р. (2)
220 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Четыре уравнения (1) и (2) определяют х,у,г и N в зависимости от времени, но полное интегрирование их представляет собой трудную задачу.
Рассмотрим сначала частный случай. Предположим, что мы находимся на северном полюсе, где А = 90°, sinA = l, cosA = 0. Уравнения (1) принимают вид:
Возьмем в плоскости ху подвижную систему двух прямоугольных осей Ох'у’, вращающуюся относительно Оху с постоянной угловой скоростью (о в направлении от Ох к Оу (положительное направление). В момент t, после поворота осей на угол шt, будем иметь:
Дифференцируя эти равенства два раза по / и отбрасывая члены с (о2, получим:
и аналогичное уравнение для у'. Уравнения в переменных х\у' и г' получат поэтому вид:
<V-z . Nz
ж+-г=?
х' = х cos Ы -\-у sin (оt, у" — —х sin Ы -\-,у cos Ы.
= cos
d'x’
(If1
Глава VII. Относительное движение точки
Это уравнения движения относительно подвижных осей Ох'у'г'. Они тождественны с уравнениями движения сферического маятника в неподвижных осях. Отсюда получаем следующее заключение:
На полюсе движение сферического маятника будет таким же, как если бы оно было отнесено к неподвижным осям, при условии, что в качестве системы осей взята система, обладающая относительно Земли равномерным вращением вокруг вертикали с угловой скоростью — ш, равной и прямо противоположной угловой скорости Земли.
Этот результат очевиден a priori и, кроме того, совершенно точен, так как вращение Земли в данном случае не оказывает никакого влияния ни на самый маятник, ни на силы, действующие на него. Результат оказывается даже более точным, чем вычисления, которые к нему привели, так как мы пренебрегли членами с <о2; но эта ошибка компенсировалась изменением веса, которым мы также пренебрегли.
Таким образом, если заставить маятник колебаться на полюсе в вертикальной плоскости, то мы увидим, что плоскость колебаний будет вращаться с постоянной угловой скоростью—ш в сторону, обратную вращению Земли. Возвратимся теперь к уравнениям (1). Заменим во втором dz
из них производную ее значением:
dz __ х dx У dy
dt z dt x dt ’
полученным дифференцированием уравнения (2). Положим далее
М’ = N— 2ш cos k ; (4)
