Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
173. Уравнения движения. — Составим уравнения относительного движения тяжелой точки М, учитывая сложную центробежную силу. Пусть О (фиг. 31) есть начало системы осей, неподвижных относительно земного
Глава VII. Относительное движение точки 215
N
шара, и SN—ось вращения Земли. Проведем ось Ог вниз по направлению веса, ось Ох к югу и ось Оу к западу. Пусть X есть широта места (угол между вертикалью и плоскостью экватора), считаем ее положительной к северу (северное полушарие) и отрицательной к югу (южное полушарие).
Проекции р, q, г угловой скорости W на оси будут р - —со cos X,
<7 = 0, г = — со sin л.
Движущаяся точка, по предположению, мало удаляется от точки О; в этом случае силу веса можно рас-
Фиг. 31.
сматривать как величину постоянную. Ее проекции будут (в обозначениях п° 168)
X — tnjx" = 0, Y — 1п}у" = 0, Z — mj" = mg.
Проекции сложной центробежной силы, в свою очередь, равны:
¦«/*"= -2mU|r
dy
dt
У
-2m<a sin X
dy
dt
'miy" = -2'« (rW -P-Щ)^2 т<й(8Ь klJ-C0Sk^)>
— mj"' = —2m (p
dy
dx\
’ 2/«oj cos X
dy
dt 4 dt J w ,ч fa •
Уравнения (1) относительного движения (n° 168), после сокращении на общий множитель т., получат вид:
dP-x
dy
216 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Предположим, что движущаяся точка в момент ^ = 0 выходит из точки О, так что начальные значения координат л:, у, Z равны нулю. Обозначим через а, Ь, с проекции начальной скорости на оси. Если пренебречь членами с множителем ш в формулах (1), уравнения при ведутся к тем, которые были проинтегрированы выше (п° 117), и мы получим:
х = at, y = bt, г = ~~ -J- ct.
Нетрудно проинтегрировать и самые уравнения (1), но точное интегрирование их не представляет интереса. Мы получим достаточное приближение, пренебрегая при интегрировании степенями ш выше первой. Учитывать члены с <а9 не имеет смысла, так как изменения веса и действие Луны, которыми мы пренебрегаем, уже имеют порядок величины т9.
Мы можем поэтому написать интегралы уравнений (1) в следующем виде:
X = at ш;, y = bt -J-алг], г = -[- ct -|- шС, (2)
где величины ш?, сот), ml, которые прибавляются к значениям л:, у, г, вычислгнным ранее, представляют собой проекции отклонения, вызванного вращением Земли (точнее, сложной центробежной силой).
Чтобы определить это отклонение, поставим предыдущие значения ,v, у, г в уравнения (1), отбросим члены с ш2 и потребуем, чтобы уравнения удовлетворялись. Для этого следует только приравнять члены с первыми степенями ш, что дает:
ЛЧ
— —2b sin л,
а(г
(f^T,
-jp = — 2gtcos A.-J- 2 (a sin к — с cos k),
OA !
-jp — 2b cos
Глава VII. Относительное движение точки
217
Проинтегрируем теперь эти уравнения, принимая во внимание, что начальные значения Е, и их первых производных равны нулю; получим:
? = —bt2 sin X,
Умножая эти значения на со, получим проекции на оси отклонения точки.
174. Случай, когда начальная скорость равна нулю.—
В качестве первого частного случая рассмотрим тот, когда начальная скорость равна нулю. Тогда а, Ь, с равны нулю. Проекции отклонения будут:
Таким образом, если точку без начальной скорости предоставить действию силы тяжести, то отклонение будет горизонтально и направлено к востоку. Движение проекции точки на вертикаль не изменяется, но сама точка отклоняется от вертикали в плоскости, нормальной к меридиану, к востоку на весьма малую величину
Если h есть высота падения, то уравнение h — ~~ позволяет определить продолжительность t падения:
Эти результаты вычисления подтверждаются многочисленными опытами. Укажем на самые первые из них, опыты Рейха (Reich), и на последние, опыты Холла (Hall),
71 = —g-g-/3 cos X(я sin X — ccosX)*2, ¦ (3)
С = bt2 cos X. !
a>? = 0, <oti=—a>^-cos X, о/, — 0.
отсюда значение отклонения получается равным
з
uig Сft) cos).
3
218 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Рейх проделал свои опыты в 1831 г. в шахте Фрейберга, на широте А = 51°. Высота падения была 158 м, вычисленное отклонение 27,5 см. Результаты 106 опытов дали отклонения, ^заключенные между пределами (28,3 ±4) см. Опыты Холла были выполнены в 1902 году в лаборатории Гарвардского университета в Кембридже (США). Высота падения была 23 м, широта А = 42°, вычисленное отклонение 1,8 см. Холл проделал 948 опытов, и наблюдения дали в качестве пределов отклонения значения (1,5 zt 0,1) см.
175. Отклонение снарядов. — Эффект сложной центробежной силы оказывается заметным при движении артиллерийских снарядов. Чтобы получить представление
