Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
168. Дифференциальные уравнения относительного движения. Центробежная сила. Сложная центробежная сила. — Пусть Охуг — подвижный триэдр отсчета; т.— масса, x,y,z — относительные координаты движущейся точки М и X, Y, Z—проекции реальной силы F, определяющей абсолютное движение точки. Эта сила равна mj, произведению массы точки на ее ускорение j.
Пусть j',f',f" — ускорения, относительное, переносное и добавочное, точки М. Тогда имеем:
Л/==/*-//-/Л
Глава VII. Относительное движение точки 209
Умножим каждый член этого равенства на т, заменим j'x >Рх
через — через X и поступим так же по отно-
шению к двум другим осям; мы получим следующие три уравнения:
т = Х~ ~ mJx"' J
т-^г = Y— miy - miy"* 1 (:1)
d~z » .ft . ///
/и_ж8=2 “ mJ* ~ m]* •
Эти уравнения представл51ют собой уравнения относительного движения точки М. В кинематике (п° 80 и 81) мы дали способ определения проекций векторов j" и /".
Фиктивную силу, равную —mj" и имеющую- проекциями— mjx> —mjy", —щ", называют кинетической
реакцией переносного движения (или силой инерции
переносного движения).
Фиктивную силу, равную —»/", имеющую проекциями — fnjx"> —т1>Г' —mj", называют сложной центробежной силой, или кориолисовой силой.
Уравнения (1) выражают, таким образом, следующую теорему:
Относительное движение точки по отношению к по-движной системе отсчета может рассматриваться как абсолютное движение и обладает всеми свойствами абсолютного движения, если только к реальным силам, действующим на точку, присоединить две фиктивные силы: кинетическую реакцию переносного движения, и сложную центробежную силу.
Добавочное ускорение, как известно (п^ 81), исчезает, если относительная скорость равна нулю (т. е. если точка находится в относительном покое). То же самое имеет место и Для сложной центробежной силы.
] 4 Заж. 968.
210 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Отсюда имеем следующую теорему:
Условия относительного равновесия точки определяются, как и условия абсолютного равновесия, из рассмотрения действительных сил, но при этом к ним прибавляется сила инерции переносного движения.
Если подвижные оси находятся в прямолинейном и равномерном поступательном движении, то оба ускорения,/" и j"' равны нулю, кинетическая реакция и сложная центробежная сила тоже обращаются в нуль. Поэтому их бесполезно вводить, и уравнения относительного движения оказываются тождественными с уравнениями абсолютного движения. Это можно было предвидеть, так как подвижная система осей в этом случае галилеева (п°105).
Замечание. — Следует заметить, что когда движение подвижной системы отсчета задано, то сила инерции переносного движения зависит лишь от положения точки в этой системе, а сложная центробежная сила зависит от положения точки и от ее скорости. Эти фиктивные силы не зависят, таким образом, от действующих на точку реальных сил¦ Уравнения (1) относительного движения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка такого же вида, как уравнения абсолютного движения в самом общем случае (п° 115).
169. Проекции на подвижные оси сложной центробежной силы. — Пусть р, q, г — проекции на подвижные оси угловой скорости й) мгновенного вращения системы отсчета вокруг ее начала О, т. е. мгновенной угловой скорости переносного вращения. Пусть vj, vy', v'z — проекции на те же оси относительной скорости. Проекции добавочного ускорения 2 [w «'] будут (п° 81):
jj" = 2(qv\-rvy'),
= 2 {rvxr—pvj), jr~2(pvy'~-qv.x').
Глава VII. Относительное движение точки
211
mj:
Проекции сложной центробежной силы равны:
— mj™ = —2m («?< — rvy') = — 2л*(? — г
-2mirvj—pvj) Ч2)
— /л;/" = — 2m{pvy' — qv’x) = — 2ib [p ^ — q ^
Эти составляющие обращаются в нуль одновременно с относительной скоростью v’. С другой стороны, если угловая скорость переносного вращения очень мала, то р, q, г также очень малы, а потому составляющие сложной центробежной силы будут иметь весьма малую величину, если только относительная скорость v' не будет очень большой.
170. Сила инерции переносного движения при равномерном вращении системы отсчета. — Если переносное движение есть равномерное вращение w вокруг неподвижной оси, то ускорение переносного движения точки является ускорением в равномерном круговом движении и приводится, таким образом, к нормальному ускорению, равному г»2: р, или ш2р, где р обозначает расстояние точки от оси. Центростремительная сила, определяющая это круговое переносное движение, равна по величине /и«в2р и направлена к оси.
Кинетическая реакция переносного движения—mj", прямо противоположная центростремительной силе, приводится, следовательно, здесь к центробежной силе, вызванной переносным вращением. Это совпадение объясняет, почему в практике часто смешивают центробежную силу с силой инерции переносного движения. Чтобы избежать здесь неясности, лучше называть указанную силу центробежной силой переносного движения.